Рекуррентные соотношения

1. Подставляем (8.57)

в (8.37)

при . Получаем

. (8.70)

2. Подставляем

,

в (8.36)

при . Получаем

.

Из (8.70) выражаем

,

подставляем в последнее равенство, и получаем

. (8.71)

3. Выполняются соотношения

, (8.72)

, (8.73)

, (8.74)

. (8.75)

Функция Эйри первого рода

,

Описывает:

– дифракцию волн,

– состояние квантовой частицы в однородном поле,

– состояние частицы в треугольной потенциальной яме,

– состояние частицы вблизи точки поворота классического движения.

Функцию ввел английский астроном Эйри в 1838 г. при исследовании дифракции света.

Сэр Джордж Биддель Эйри (1801–1892)

Директор Гринвичской обсерватории, президент Лондонского королевского общества. Разработал теорию дифракции света на круглом отверстии объектива телескопа. Центральное светлое пятно в центре картины дифракции на круглом отверстии называется диск Эйри.

Уравнение Эйри

Функция Эйри является частным решением уравнения Эйри

. (8.76)

Связь с функцией Бесселя

Сравниваем (8.76) с уравнением Ломмеля

,

находим

, , , .

Общее решение

,

получает вид

. (8.77)

Мнимый аргумент усложняет анализ, ищем другой путь решения, ограничиваясь отрицательным аргументом . Уравнение (8.76) получает вид

, . (8.78)

Сравнение с уравнением Ломмеля дает параметры

, , , .

Получаем общее решение уравнения Эйри при отрицательном аргументе

, . (8.79)

Функция Эйри первого рода

Частное решение (8.79) с коэффициентами определяется как функция Эйри первого рода

. (8.80)

Условия нормировки

При малом аргументе учитываем (8.11)

,

и из (8.80) находим

.

При первое слагаемое дает нуль. Получаем нормировку

. (8.81)

Нормировка в интегральной форме

(8.82)

следует из Фурье-образа функции Эйри (8.84), полученного далее:

,

при .

Выполняется

,

. (8.82а)

Доказательство (8.82а)

Вычисляем

,

используя (8.80)

.

Получаем

,

где заменен аргумент

, ,

и учтена нормировка (8.14)

.