Условие ортонормированности

Множество функций

, , ,

образует непрерывный базис с условием ортонормированности

, . (8.48)

Доказательство

Функции, входящие в (8.48):

, ,

являются решениями уравнения Ломмеля (8.3)

с параметрами

, ,

, .

Уравнение Ломмеля (8.2)

для и получает вид

,

.

Умножаем первое равенство на xv, второе – на xu и вычитаем результаты

.

Левую сторону упрощаем

.

Интегрируем слагаемые по x от 0 до ∞

.

Левая сторона на нижнем пределе дает нуль. На верхнем пределе используем (8.12а)

,

,

тогда

.

В результате

.

Учитываем (2.4)

,

,

тогда

,

Для нахождения интегрируем равенство по р от 0 до ∞, меняем порядок интегрирований, и используем условие нормировки (8.14)

.

Получаем

, ,

.

В результате доказано (8.48)

, .

При с учетом (8.8)

не нулевой вклад в (8.48) дает только , тогда получаем

, . (8.49)

Этот результат не следует из (8.48).

Доказательство (8.49)

Умножаем (8.49) на , где , и интегрируем по k от 0 до ∞

.

Меняем порядок интегрирований слева и учитываем справа

,

тогда

.

Внутренний интеграл согласно (8.48) равен

.

С учетом получаем тождество, что доказывает исходное равенство (8.49).

ФункциИ Бесселя полуцелого порядка

Функции Бесселя целочисленного порядка не сводятся к элементарным функциям. Функции полуцелого порядка выражаются через тригонометрические функции.

Вид функций

1. Используем представление (8.9) в виде ряда

,

при получаем

.

С учетом

,

находим

.

Сумма является разложением , в результате

. (8.53)

2. Из (8.42)

при  = –1/2

,

получаем

. (8.54а)

3. Из (8.37)

при  = 1/2 находим

,

откуда

. (8.54б)

4. Из (8.43)

,

при

,

с учетом (8.53)

,

находим

. (8.55)

5. Из (8.41)

,

при

,

с учетом (8.54а)

получаем

. (8.56)

Нули функций

Функция зануляется

в точках , где k – порядковый номер нуля. Числовые расчеты для первых двух нулей дают

x_0,1 = 3,0, x_0,2 = 6,2;

x_1,1 = 4,4, x_1,2 = 7,7;

x_2,1 = 5,7, x_2,2 = 9,0.

Графики функций

,

Сферическая функция Бесселя

Определяем

, (8.57)

Функция описывает в сферических координатах радиальную зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k.

Множество при образует ортонормированный базис с непрерывным спектром .

Радиальная зависимость волны

Волна в сферических координатах удовлетворяет уравнению Гельмгольца

,

где оператор Лапласа (7.6)

,

– оператор квадрата момента импульса; k – волновое число.

В уравнении разделены производные по переменным r и (, ), находящиеся в . Ищем решение в виде произведения независимых функций

,

где – сферическая функция. Решение подставляем в уравнение и учитываем (7.20)

.

Для радиальной функции получаем уравнение

.

Замена дает

.

Полученное уравнение сравниваем с уравнением Ломмеля

,

находим

, , , .

Общее решение (8.4)

,

получает вид

.

Физическое решение конечно при . С учетом (8.11)

получаем , тогда

.

Радиальная зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k описывается сферической функцией Бесселя.

Уравнение для

Решение уравнения Ломмеля (8.3)

сравниваем с (8.57)

,

находим

, , , .

Уравнение Ломмеля

получает вид

. (8.58)

Найдено уравнение для сферической функции Бесселя.

Явный вид функции

Используем (8.57)

.

В (8.55)

заменяем , и находим

.

В результате сферическая функция Бесселя равна

. (8.59)

Свойство четности

Из (8.59) получаем

. (8.61)

Функции низших порядков

Из (8.59) получаем

,

,

. (8.62)

Предел x  

Используем (8.12а)

находим

. (8.63)

Из (8.57)

получаем

,

. (8.64)

Предел x  0

Используем (8.11)

,

при

.

Подставляем в (8.57)

,

получаем

,

.

В частности

,

,

. (8.65)

Условия ортонормированности

1. Используем (8.48)

, ,

при

.

Из (8.57)

выражаем

,

.

Получаем условие ортонормированности

, . (8.66)

2. При не нулевой вклад в (8.66) с учетом дает только . Используя , находим

, . (8.67)

Этот результат не следует из (8.66).

Доказательство (8.67)

Обе стороны (8.67) умножаем на , где , и интегрируем по интервалу . В левой стороне меняем порядок интегрирований и используем (8.66)

.

Правая сторона дает тот же результат

,

где учтено

.

Получение тождества доказывает (8.67).

3. Из (8.67) и (8.62)

, ,

получаем

. (8.68)