Инверсия порядка

Из (8.19)

.

получаем

. (8.22)

Инверсия аргумента

Из интегрального представления Пуассона (8.5)

получаем

. (8.23)

Из (8.22) и (8.23) следует

. (8.25)

Производящая функция

Интегральное представление Зоммерфельда (8.16)

,

где

;

,

является выражением для коэффициента Фурье . Обратное преобразование является разложением функции в ряд Фурье (1.48)

.

Для плоской волны, движущейся под углом φ к оси x, получаем

(8.26)

В (8.26) заменяем

, ,

,

и находим производящую функцию для цилиндрических функций

. (8.27)

Ряды функций Бесселя

1. В (8.26)

разделяем вещественную и мнимую части

,

.

Учитываем (8.22)

,

и преобразуем слагаемые с

, (8.28)

. (8.29)

При из (8.28) получаем

. (8.30)

2. В (8.26)

заменяем

, (8.31)

где учтено

,

,

.

В (8.31) разделяем вещественную и мнимую части

, (8.32)

, (8.33)

где учтено

,

.

При из (8.32) и (8.33) получаем разложение синуса и косинуса по функциям Бесселя

, (8.34)

. (8.35)

Рекуррентные соотношения

1. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по x

,

подставляем (8.27)

,

получаем

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Обобщаем n на случай произвольного порядка

. (8.36)

2. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по t

,

подставляем (8.27)

,

получаем

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Для произвольного порядка

. (8.37)

3. Складываем и вычитаем (8.37) и (8.36)

,

находим

, (8.38)

. (8.39)

4. Умножаем (8.38) на и упрощаем правую сторону

, (8.40)

где использовано

.

5. Симметризуем (8.40)

.

По индукции получаем

, (8.41)

6. Умножаем (8.39)

на и сворачиваем правую сторону

,

получаем

. (8.42)

7. Симметризуем (8.42)

.

По индукции получаем

, (8.43)

Частные соотношения

Из (8.39)

при находим

. (8.44)

Из (8.36)–(8.44)

,

,

,

,

,

при получаем соотношения между , и :

,

, (8.45)

,

,

,

,

. (8.46)