Нули функции Бесселя

,

где m – порядковый номер нуля. Для J₀ и J₁ числовой расчет дает

x_0,1 = 2,405; x_0,2 = 5,520; x_0,3 = 8,654; …

x_1,1 = 3,832; x_1,2 = 7,016; x_1,3 = 10,174 …

Нормировка

Выполняется

, (8.14)

. (8.14а)

Площадь под кривой равна единице.

Доказательство (8.14)

Рекуррентное соотношение (8.36), которое будет далее получено:

интегрируем по интервалу

, ,

где использовано (8.11) и (8.12а)

,

.

Следовательно,

,

и не зависит от . Полагаем , учитываем соотношение (8.44)

,

которое будет получено в дальнейшем, и находим

.

Следовательно, площадь под кривой функции Бесселя произвольного порядка равна единице.

Интегральное представление Зоммерфельда

Докажем, что цилиндрическая функция , где , является коэффициентом Фурье n-ого порядка по угловой переменной в цилиндрических координатах для трехмерной гармонической волны. Для плоской волны получается интегральное представление Зоммерфельда. Гармоническая волна меняется по закону косинуса или синуса и является решением уравнения Гельмгольца.

Арнольд Зоммерфельд (1868–1951)

Зоммерфельд окончил университет Кёнигсберга по кафедре теоретической физики – первой кафедре в мире по теоретической физике. Обосновал условия квантования Бора–Зоммерфельда (1915 г.) и на этой основе ввел радиальное, орбитальное и магнитное квантовые числа для электрона в атоме. Теоретически описал тонкую структуру спектральных линий атома водорода и ввел постоянную тонкой структуры. Разработал электронную квантовую теорию металла (1927 г.). В теории излучения волн ввел граничные условия на бесконечности для решений уравнения Гельмгольца – условия излучения Зоммерфельда (1912 г.). Показал, что частные решения уравнения Бесселя отличаются контурами интегрирования в комплексной плоскости. Получил интегральное представление Зоммерфельда для функции Бесселя (1896 г.).

Герман фон Гельмгольц (1821–1894)

Гельмгольц – физик, физиолог, психолог – профессор физики Берлинского университета. Ввел понятия потенциальной энергии, свободной энергии и связанной энергии. Изобрел катушку Гельмгольца в виде двух узких катушек на одной оси, расстояние между центрами катушек равно их радиусу. Такая система создает открытое однородное магнитное поле. Построил резонатор Гельмгольца в виде полого шара для анализа и усиления низкочастотных акустических колебаний. Создал колебательный контур. Доказал ряд теорем о решениях уравнения Гельмгольца с учетом краевых условий в 1860 г.

Трехмерное уравнение Гельмгольца имеет вид

,

где k – волновое число; Δ – оператор Лапласа. Фиксируем координату z и рассматриваем волну в плоскости (x, y) в полярных координатах

,

.

Уравнение получает вид

,

где нижний индекс показывает аргумент дифференцирования. Переходим от r к безразмерному аргументу

,

,

. (8.15)

Физическое решение периодично по углу

.

Выполняем Фурье-преобразование слагаемых уравнения (8.15) по угловой переменной. Используем из раздела «Фурье-преобразование периодической функции» формулу (1.49) для периода

,

и теоремы Фурье (1.50)

, , .

Преобразование Фурье по углу слагаемых уравнения (8.15) дает для коэффициента Фурье уравнение Бесселя

,

где штрих означает дифференцирование по z. Следовательно,

.

Коэффициент Фурье n-ого порядка по угловой переменной для гармонической волны является функцией Бесселя . По формуле коэффициента Фурье получаем интегральное представление функции Бесселя

, . (8.16)

В плоскости рассмотрим частный случай гармонической волны в виде плоской волны с волновым вектором k и с единичной амплитудой

.

Волну направляем по оси y, радиус-вектор r составляет угол φ с осью x, тогда

,

, ,

.

Изменяем обозначение аргумента , и из (8.16) получаем интегральное представление Зоммерфельда для цилиндрической функции

, (8.17)

или

, (8.18)

где учтена четность функции под интегралом.

Из (8.17) при и следует нормировка (8.8)

,

что оправдывает выбор единичной амплитуды волны.

В (8.17) заменяем аргумент

, ,

и после замены возвращаемся к исходному обозначению . Подынтегральная функция в (8.17) периодическая с периодом , поэтому интервал интегрирования сохраняем. Учитываем

,

,

получаем

. (8.19)

Из (8.17) и (8.19) находим

, (8.20)

что совпадает с интегральным представлением Пуассона (8.7).

В выражении (8.17)

,

заменяем

,

и используем

,

.

Обозначая , находим

. (8.21)