ФункциЯ Бесселя первого рода

,

1. Описывает радиальную зависимость в полярных и сферических координатах в задачах колебаний, волн, теплопроводности, диффузии, теории потенциала.

2. Множество с одинаковым индексом μ образует ортонормированный базис с непрерывным спектром .

3. При целочисленном функция Бесселя называется цилиндрической функцией.

исследовал Даниил Бернулли в 1732 г.

ввел Леонард Эйлер в 1764 г.

4. Цилиндрическая функция является Фурье-образом трехмерной гармонической волны по угловой переменной в цилиндрических координатах.

Бессель составил таблицы J₀, J₁, J₂ для описания движения планет в 1824 г. Название функции в честь Бесселя предложил дать Оскар Шлемильх в 1857 г.

Даниил Бернулли Леонард Эйлер Фридрих Вильгельм

(1700–1782) (1707–1783) Бессель

(1784–1846)

Бессель не учился в гимназии и в университете. Он самостоятельно изучил математику и астрономию, был профессором Кенигсбергского университета. Исследовал комету Галлея, основал обсерваторию в Кёнигсберге, измерил расстояния до звезд методом параллакса, провел геодезическую съемку Восточной Пруссии. Его именем назван кратер на Луне.

Уравнения Бесселя и Ломмеля

Функция Бесселя является частным решением уравнения Бесселя

. (8.1)

Для расширения области применения уравнения усложняем его путем замены аргумента и функции, выраженные через параметры . Это дает для функции уравнение Ломмеля

. (8.2)

При , уравнение (8.2) переходит в (8.1).

Подстановка в (8.2)

,

(8.3)

преобразует (8.2) в (8.1) с аргументом z.

В уравнениях (8.1) и (8.2) параметр μ имеет вторую степень, поэтому общее решение (8.2) содержит слагаемые с обоими знаками μ

. (8.4)

Уравнение получил немецкий физик Ломмель в 1868 г.

Евгений Корнелиус Йозеф фон Ломмель (1837–1899)

Интегральное представление Пуассона

Уравнение (8.1) относится к обобщенному гипергеометрическому типу. Его решение методом факторизации (см. Пример 3.9 в учебнике), после определения постоянного множителя условием , дает интегральное представление Пуассона

. (8.5)

Во втором равенстве использована формула Эйлера

,

и четность функций косинуса и синуса.

Замена в (8.5) аргумента интегрирования

,

дает

. (8.6)

Из (8.6) при получаем

, (8.7)

.

Выполняется нормировка

,

,

. (8.8)

Симеон Дени Пуассон (1781–1840)

Пуассон – математик, механик, физик, профессор Парижского университета. Ввел понятие потенциала в электростатике и получил «дифференциальное уравнение Пуассона», связывающее потенциал системы зарядов с их распределением в пространстве. Для случайной величины доказал «распределение Пуассона». Установил связь между продольной и поперечной деформациями тела – «коэффициент Пуассона». Вычислил «интеграл Пуассона», доказал «формулу суммирования Пуассона». В механике ввел «скобку Пуассона» – перестановочное соотношение двух операторов. Наполеон возвел его в бароны, Луи-Филипп сделал пэром Франции. Цитата Пуассона – «Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием».

Представление в виде степенного ряда

Используем представление Пуассона (8.5)

,

косинус выражаем рядом Маклорена

,

переставляем суммирование и интегрирование

,

где

.

Замена в интеграле

,

дает бета-функцию

.

Получаем разложение функции Бесселя в степенной ряд

. (8.9)

В частности

(8.10)

Предел x  0

Главный вклад в (8.9) при вносит , тогда

,

, (8.11)

,

, .

Предел x  

Используем уравнение Ломмеля (8.2) и его решение (8.3)

, .

При , получаем

,

.

Отсюда выражаем функцию Бесселя

.

Для функции при получаем одномерное уравнение Гельмгольца

с общим решением

.

В результате

. (8.12)

Следовательно, при функция периодически проходит через нуль, амплитуда колебаний уменьшается.

Детальный анализ дает значения a и A

,

. (8.12а)