Классические ортогональные полиномы

Полином (многочлен) порядка

.

Условие ортогональности

Множество образует базис в гильбертовом пространстве с условием ортонормированности

,

где

– орт;

– скалярное произведение функций;

– весовая функция;

– символ Кронекера.

Классические ортогональные полиномы являются частными решениями дифференциальных уравнений гипергеометрического типа и обобщенного гипергеометрического типа – полиномы Эрмита, Лагерра, Лежандра, Чебышева, Якоби, Гегенбауэра.

Полиномы Эрмита

, ,

– порядок полинома

Применяются в оптике, в математической статистике, в теории вероятностей, в квантовой механике.

Полиномы исследовали Чебышев в 1859 г. и Эрмит в 1864 г., они называются также полиномами Чебышева–Эрмита.

Пафнутий Львович Чебышев (1821–1894)

Шарль Эрмит (1822–1901)

Уравнение Эрмита

. (6.1)

Формула Родрига

Методом факторизации получено решение (П.3.3)

, (6.2)

и весовая функция (П.3.1)

.

Из (6.2) следует свойство четности

. (6.3)

Полиномы низших степеней

Получим явный вид для низших порядков и убедимся, что эта функция является полиномом. С учетом

,

,

, …

из (6.2) находим

, ,

, ,

, .

Полиномиальная форма

Обобщение частных результатов дает

, (6.4)

где – целая часть . В частности, для получаем

Интегральная форма

(6.8)

применима как для целых положительных m, так и для дробных и для отрицательных m.

Доказательство (6.8)

В формулу Родрига (6.2) входит . Получим эту форму, применяя теорему Фурье о дифференцировании:

к функции Гаусса . Учитываем (П.2.6)

получаем

.

Замена под интегралом дает

.

Подставляем в (6.2)

,

находим

, (6.8)

где учтено, что комплексное сопряжение не меняет вещественный полином.

Производящая функция

Методом факторизации получена производящая функция (П.3.5)

. (6.10)

Из определения производящей функции (5.14)

,

для , находим ее связь с полиномами Эрмита

. (6.11)

Рекуррентные соотношения для полиномов

Алгоритм получения:

1. Дифференцируем выражение для производящей функции (6.10) по одному из аргументов.

2. В полученное соотношение подставляем определение производящей функции (6.11).

3. Приравниваем слагаемые с одинаковыми степенями t.

Соотношение 1

Дифференцируем (6.10)

по x и получаем

.

Подставляем (6.11)

,

приравниваем слагаемые с

,

получаем

, (6.12)

. (6.13)

Следовательно, – оператор понижения порядка полинома.

Соотношение 2

Дифференцируем (6.10)

,

по t и получаем

.

Подставляем (6.11)

,

находим

,

приравниваем слагаемые с

,

получаем

. (6.15)

Учет (6.12)

дает

. (6.16)

Следовательно, – оператор повышения порядка полинома.

Условие ортонормированности

Множество полиномов Эрмита со всеми порядками образует базис в гильбертовом пространстве функций, определенных при , с условием ортонормированности (П.3.4)

. (6.18)

Разложение функции по базису полиномов Эрмита

Если определена при , то она разлагается по базису :

. (6.19)

Для нахождения коэффициента :

• умножаем левую и правую стороны (6.19) на ;

• интегрируем по интервалу ;

• меняем порядок суммирования и интегрирования;

• учитываем ортонормированность (6.18);

• символ Кронекера снимает сумму и оставляет одно слагаемое.

.

Заменяем и получаем коэффициент

.

• Подставляем полином в форме Родрига (6.2)

,

получаем

.

• Интегрируем по частям m раз. Свободные слагаемые зануляются на обоих пределах за счет . Получаем коэффициент

. (6.20)