Часть 4. Макроскопическая электродинамика
Лекция 22
Уравнения Максвелла для поля в среде
51. Векторы поляризации и электрического смещения. Постулат Максвелла
Мы приступаем к изучению электромагнитного поля в среде. Начнем с диэлектриков, помещенных в электрическое поле неподвижных зарядов. В диэлектриках, в отличие от металлов и электролитов, нет зарядов (точнее почти нет), могущих перемещаться на значительные расстояния и переносить ток.
Диэлектрики построены либо из нейтральных молекул (все газообразные и жидкие диэлектрики и часть твердых), либо из заряженных ионов, закрепленных в определенных положениях равновесия (например, в узлах кристаллической решетки). В целом диэлектрик нейтрален.
Под воздействием внешнего электрического поля заряды, входящие в состав диэлектрика, не «срываются» полем со своих мест, а лишь несколько смещаются из положения равновесия в некоторые новые равновесные положения. Говорят, диэлектрик поляризуется.
Это его новое состояние можно характеризовать в каждой точке вектором поляризации. Вектор поляризации это электрический момент единицы объема диэлектрика, т.е.
или
(4.1)
Рис. 4.1. Диэлектрик в электрическом поле
– дипольный или
электрический момент зарядов, расположенных
в физически бесконечно малом объеме
;
– дипольный момент i-ой
молекулы. Заряды диэлектрика будем
считать неподвижными.
Под напряженностью электрического поля внутри диэлектрика будем понимать усредненное значение истинной напряженности по физически бесконечно малому объему
.
(4.2)
В дальнейшем нам придется находить уравнения для макроскопических (усредненных) величин, исходя из уравнений для микроскопических величин. При этом нам придется пользоваться следующими равенствами
и
.
Второе
равенство сразу следует из (4.2). Докажем
первое:
Среднее значение
в точках М
и М´
равно:
,
.
Здесь
и
‑ два одинаковых шара, центры которых
смещены вдоль х
на величину
(рис. 4.2).
Рис. 4.2. К выводу равенства для производных по координате
.
Но
;
;
;
;
.
Поэтому
.
.
С другой стороны
,
что
и требовалось доказать. Здесь была
использована математическая теорема
Гаусса-Остроградского.
В отсутствии диэлектриков
.
Внутри
диэлектрика для микроскопических
величин
Здесь
и
соответственно плотность свободных и
связанных зарядов.
Возьмем среднее по физически бесконечно малому объему от левой и правой частей с использованием только что доказанного свойства
.
Мы обозначим
,
,
а
выразим через
.
Выделим в диэлектрике объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Диэлектрик в поле точечного заряда
Поверхность S пересечет некоторое число молекул так, что одни из зарядов этих молекул окажутся вне объема V, а другие внутри него. Поэтому в V может оказаться суммарный связанный заряд. Найдем его.
Рис. 4.4.
«Перерезание» диполей элементарной
площадкой
Элемент
пересечет все те диполи, центры которых
расположены в прилегающем к нему слое
толщины
(рис. 4.4)
.
Здесь
N
– число диполей
в единице объема. Следовательно, число
диполей, рассекаемых элементом
Нескомпенсированный
заряд, в объеме V
за счет
этого пересечения:
.
Следовательно:
.
Суммарный связанный заряд, попавший внутрь замкнутой поверхности:
.
Здесь
использована математическая теорема
Гаусса-Остроградского.
С другой стороны:
,
т.е.:
.
Отсюда
.
Поэтому:
,
.
По определению
сумма
называется вектором электрического
смещения и обозначается через
.
, (4.3)
(4.4)
– постулат Максвелла в дифференциальной форме.
(4.5)
– постулат Максвелла в интегральной форме.
Очевидно, чем больше напряженность электрического поля в диэлектрике, тем больше он поляризуется, т.е. тем больше вектор поляризации :
. (4.6)
Коэффициент
называется электрической восприимчивостью
или поляризуемостью диэлектрика. Для
некристаллических диэлектриков
– скаляр, для некоторых диэлектриков
зависящий от
(
).
В этом случае:
.
Или
,
. (4.7)
Это материальное
уравнение для электрического поля в
среде.
называется
диэлектрической проницаемостью среды,
– относительная диэлектрическая
проницаемость среды.
Для кристаллических диэлектриков в выражении (4.6) является тензором, т.е.:
,
,
.
В этом случае и в
материальном уравнении (4.7) величины
и
будут тензорами.