62. Метод зеркальных отображений

Метод зеркальных отображений применяется при расчете электростатических полей в неоднородных средах, причем, когда границы раздела сред имеют «правильную» форму: плоскость, сфера, цилиндрическая поверхность и некоторые другие.

Вместо исходной задачи в неоднородной среде рассматривают эквивалентную ей задачу в однородной среде (параметры этой среды такие же, как и параметры среды той части пространства, где отыскивается поле). Величины и места расположения зарядов в той части пространства, где отыскивается поле, сохраняются. Вместо распределенных источников на границе раздела сред в исходной задаче берут сосредоточенные источники в эквивалентной задаче. Их величину и место расположения выбирают так, чтобы граничные условия для той части пространства, в которой отыскивается поле, совпадали с граничными условиями для этой части пространства в исходной задаче. Тогда, на основе теоремы эквивалентности, и поле в указанной части пространства (где отыскивается поле) сохранится, т.е. будет таким же, как и в исходной задаче.

Таким образом, обоснованием метода зеркальных отображений является теорема эквивалентности (единственности).

I. Отображение в плоскости

Пусть точечный заряд расположен в воздухе (диэлектрическая проницаемость ) (рис. 4.42). Воздух занимает половину пространства, а вторая половина пространства занята проводящей средой. Граница между ними ‑ плоскость. Часть пространства, где отыскивается поле – это верхнее полупространство (пространство, в котором находится заряд).

Рис. 4.42. Точечный заряд над проводящим полупространством

В нижней части пространства поле известно. Здесь .

Границей для части пространства, в которой отыскивается поле, является плоскость . Она уходит в бесконечность. Граничным условием на поверхности является условие .

Теперь мы ставим эквивалентную задачу, в которой среда во всем пространстве будет однородная с диэлектрической проницаемостью (диэлектрическая проницаемость такая же, как и в той части пространства, где отыскивается поле). Мы сохраняем также заряд в верхнем полупространстве.

Таким образом, в части пространства, где отыскивается поле, сохранены параметры среды и заряды. Т.е. в этой части пространства сохранится уравнение для поля, например, для потенциала.

Для того, чтобы обеспечить граничное условие на плоскости ( или ), поместим на расстоянии от плоскости (для эквивалентной задачи плоскость – это плоскость в однородной среде, взятая в том месте, в котором для исходной задачи была граница раздела сред), зеркально заряд противоположного знака ( ), но такого же модуля (рис. 4.43). Из картинки силовых линий видно, что на плоскости будет . Это является следствием симметрии.

Рис. 4.43. Эквивалентная задача в однородной среде задаче о заряде над проводящим полупространством

Тем самым для верхнего полупространства сохранено и граничное условие ( ). Поэтому верхнее полупространство будет областью сохранения поля, т.е., в силу теоремы эквивалентности, поле в этой части пространства будет таким же, как и в верхнем полупространстве исходной задачи.

Теперь поле в верхнем полупространстве может быть найдено с использованием принципа суперпозиции (рис. 4.43):

.