поля сквозь единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению распространения потока, за единицу времени.
Тогда (4.43) приобретает вид:
.
(4.44)
Здесь
,
в соответствии с законом Джоуля-Ленца
в дифференциальной форме ‑ тепловые
потери в единице объема проводника за
единицу времени (мощность удельных
тепловых потерь).
Формула (4.44) – теорема Умова-Пойнтинга для электромагнитного поля в среде в дифференциальной форме.
Умножая (4.44) на
(-1), интегрируя по некоторому объему V,
ограниченному замкнутой поверхностью
,
и применяя математическую теорему
Гаусса-Остроградского (1.10), получим
теорему Умова-Пойнтинга для электромагнитного
поля в среде в интегральной форме:
.
(4.45)
Члены равенства (4.45) имеют следующий смысл:
– поток энергии
электромагнитного поля сквозь замкнутую
поверхность
снаружи вовнутрь за единицу времени;
– увеличение
энергии электрического поля в объеме
за единицу времени;
– увеличение
энергии магнитного поля в объеме
за единицу времени;
– тепловые потери
в объеме
за единицу времени (мощность тепловых
потерь в объеме
).
Таким образом, формула (4.45) является законом сохранения энергии для электромагнитного поля в среде. В правой части (4.45) указывается, на что в объеме расходуется энергия, поступающая снаружи сквозь замкнутую поверхность .
58. Теорема единственности решений уравнений Максвелла
Ранее мы установили, что усредненные векторы электромагнитного поля в тех точках пространства, где имеют смысл первые производные, удовлетворяют уравнениям
,
,
,
,
,
,
.
На границах раздела сред первые производные теряют смысл. Вместо уравнений Максвелла на поверхностях раздела были установлены граничные условия.
Часто интересуются электромагнитным полем в ограниченном объеме . Возникает вопрос, какие условия надо задать на границе объема и начальные условия в объеме , чтобы выписанные уравнения Максвелла плюс эти условия определили единственное поле в объеме .
На этот вопрос отвечает теорема единственности решений уравнений Максвелла:
Если для заданного
момента
известны напряженность электрического
и магнитного поля в любой точке объема
,
ограниченного замкнутой поверхностью
,
а также касательная компонента
электрического
или магнитного поля
в каждой точке поверхности
и в любой момент времени
,
начиная с
,
то уравнения Максвелла плюс перечисленные
условия определяют единственное
электромагнитное поле
, 
.
Параметры среды
,
,
предполагаются не зависящими от
интенсивности поля, т.е. не зависящими
от времени.
Доказательство.
Предположим, что существует два различных
решения:
,
(одно решение) и
,
.
(второе решение), каждое из которых
удовлетворяет сформулированным выше
начальным и граничным условиям и
уравнениям Максвелла. Обозначим
,
.
В силу линейности системы уравнений
Максвелла разностное поле
,
удовлетворяет этой системе, т.е.
Умножим скалярно первое уравнение на , а второе ‑ на и вычтем из второго уравнения первое
.
(4.46)
Левая часть этого
равенства, в силу формулы векторного
анализа (1.28), равна
.
Далее имеем:
.
Аналогично
.
Далее
.
С учетом этого равенство (4.46) можно записать так
.
Проинтегрируем это выражение по объему и воспользуемся математической теоремой Гаусса-Остроградского:
.
Поскольку
на поверхности
(или
),
то
на этой поверхности
(или
),
поэтому
и последний интеграл обращается в нуль.
Итак:
.
Правая часть этого
равенства
,
т.е. неотрицательная. Следовательно,
не возрастает. Кроме того, из общего
вида ясно, что этот интеграл
.
Кроме того, в момент времени
и
,
т.е. этот интеграл равен нулю. Функция
,
обладающая этими тремя свойствами,
очевидно,
,
.
,
,
т.е.
,
и
– решение единственно.
Вопросы и задачи к лекции 25
276-1. По весьма
длинному однородному прямолинейному
проводнику кругового сечения протекает
постоянный ток. Найти тепловые потери
за единицу времени на участке единичной
длины, если известна
– напряженность на поверхности провода,
– удельная проводимость.
277-2. Сформулируйте теорему Умова-Пойнтинга для электромагнитного поля в среде в дифференциальной форме.
278-3. Сформулируйте теорему Умова-Пойнтинга для электромагнитного поля в среде в интегральной форме. Поясните смысл каждого члена в этой теореме.
279-4. По двухпроводной
линии течет постоянный ток
(рис. 4.35). Приемник электроэнергии
находится за сечением рисунка. Найдите
направление вектора Пойтинга в точке
М,
расположенной посредине между проводами.
Рис. 4.35. Двухпроводная линия постоянного тока
280-5. Сформулируйте и докажите теорему единственности решений уравнений Максвелла для электромагнитного поля в среде.
Лекция 26