9.Үйкеліс күші бар кездегі еріксіз тербелістер
Үйкеліс бар кездегі мәжбүр тербелістердің қозғалыс теңдеуін жазу үшін:
,
(1)
теңдеуіне
сыртқы күш
-ны қосып жазамыз.
,
(2)
Біртекті теңдеудің шешімі:
,
(3)
Ал дербес шешімі :
,
(4)
орнына қоямыз
,
,
(5)
,(6)
(5)-ке қойғанда:
,
(7)
,
(8)
Сонымен, теңдеудің дербес шешімі:
,
(9)
ендеше:
,
(10)
.
(11)
10. Үйкеліс күші бар кездегі еріксіз тербелістердің амплитудасы
Үйкеліс бар кездегі мәжбүр тербелістердің қозғалыс теңдеуі:
, (9)
ендеше:
, (10)
. (11)
Толық шешім
,
(12)
Яғни
біршама уақыт өткен соң алдыңғы екі
мүше шексіз азға айналады. Яғни біртекті
мүшелері нөлге айналады.
орнына қоямыз:
(13)
Үйкеліс жағдайында да бұл резонанс та шексіздікке айналмайды.
11. Еріксіз тербелістердің фазасы
Үйкеліс бар кездегі мәжбүр тербелістердің қозғалыс теңдеуі:
, (1)
ендеше:
, (2)
. (3)
Толық шешім
, (4)
Яғни біршама уақыт өткен соң алдыңғы екі мүше шексіз азға айналады. Яғни біртекті мүшелері нөлге айналады. орнына қоямыз:
(5)
Үйкеліс жағдайында да бұл резонанс та шексіздікке айналмайды.
12.Ангармониялық тербелістер
Жүйені
бастапқы орнықты қалпына келтіруге
әсер ететін күшті алдыңғы тақырыптарда
қатарға жіктеген болатынбыз:
,
(1)
Осындағы
бірінші мүше серпімді күш болып, осы
күштің әсерінен жүйе гармониялық
тербеліс жасайды деп айтқан болатынбыз.
Енді осы қатардағы екінші мүшені ескеріп,
қозғалыс теңдеуін жазсақ, былай болады:
,
(2) Осы бейсызық теңдеу ангармониялық
вибратордың
теңдеуі болып табылады. Осы теңдеуді
шешу үшін аз параметрлері бойынша жіктеу
тәсілін қолданамыз. Аз параметр ретінде
бастапқы ауытқу немесе бастапқы
жылдамдықтың мәнін алады. Аз параметрдің
мәнінің екінші дәрежесіне дейінгі
дәлдікпен алғанда:
,
(3) мұндағы х1
– аз
параметрдің бірінші реті, х2
– екінші ретті мүшелері. (3)-ті (2)-ге
қойып, бірдей параметрлерді теңестіріп
мына теңдеуді аламыз:
(4)
(5)
(4)-шешімі
гармониялық тербеліс болады.
(6)
(φ=0)
болу керек. Бастапқы шарттарын бергенде:
(7)
(6)
теңдеуінің шешімі былай болады:
,
(8)
Амплитуда
мәні
-ны
жіктеу жүргізуге арналған аз параметр
ретінде алуға болады. Енді (8)-ді (5)
теңдеудің оң жағына қоямыз:
,
формуласын қолданып жазамыз:
,
(9) Осы теңдеудің шешімін былай іздейміз:
,(10)
және
дербес шешімі:
. (11)
(9)
теңдеудің шешімі:
,
(12)
(7)
шартты қанағаттандыра отырып,
және
тұрақтыларының мәнін табамыз:
,
(13)
Сонымен
осы теңдеудің шешімінен көріп
тұрғанымыздай, гармониялық тербелістің
жиілігі 2-есеге артты, бастапқы тыныштық
қалпынан
шамаға ауытқу пайда болды.
13.Абсолют қатты дене. Оның еркіндік дәрежелері. Абсолют қатты дененің координаттары. Эйлер бұрыштары
Абсолют
қатты дененің механикасы екі сатыдан:
кинематика және динамикадан тұрады.
Абсолют қатты дененің кинематикасы
дененің қозғалысын осы дененің әрбір
нүктелерінің өзара арақашықтықтары
өзгермейтіндей етіп қарастырады, яғни
дененің пішіні мен өлшемі қозғалысты
қарастырғанда ешқандай рөл атқармайды
және дене тұтас
орта
ретінде қарастырылады. Сонымен қатар
айта кететін жағдай табиғатта осындай
денелердің болмауымен қатар, физикалық
теорияда дененің қасиеттерін идеалдандырып
және қарапайымдандырып отырмыз. Осындай
жағдайларда денелердің қозғалысының
шарттарын да өзгертуге тура келеді.
Қатты дененің қозғалыс кинематикасы
ортаның қозғалмайтын ортада немесе
онымен тығыз байланысқан кординаталар
жүйесіндегі орны және орын ауыстыруын
түсіндіреді. Қатты дененің өзінде
координаттар жүйесін енгіземіз. Осы
координатаға байланысты өзгермейтін
ортаның әрбір нүктесінің орнын анықтауға
болады. Бұл жүйе қозғалыстағы кеңістіктегі
өзгермейтін жүйені құрайды. О1
нүктесін қозғалыстағы жүйенің кез-келген
нүктесіне орналастыруға болады және
оны полюс
деп атайды, ал осьтерін
деп белгілейміз.
Қатты
дененің кеңістіктегі орнын анықтау
үшін оның полюсімен және осьтерінің
бағыттары
-ны
қозғалмайтын ОХУZ санақ жүйесімен
байланыстырамыз. О1
полюсінің орны
-радиус
векторымен анықталады:
,
(1)
Қозғалыстағы осьтердің бағыттары былайша анықталады:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
11
–
,
,е
– қозғалыстағы осьтің және ех,еу,еz
–қозғалмайтын осьтердің арасындағы
бұрыштың косинустары.
ік
– тоғыз мәні бар орттардың ортогональдық
шарттарды қолдансақ, олардың арасындағы
байланысты былай табуға болады
соs
=(
,
)=
i1*
і2=0
(
,
)=1
соs
=(
,е
)=
i1*
і3=0
(
,
)=1
соs
=(
,е
)=
i2*
і3=0
(е
,е
)=1
ал енді үш өзара байланысы 1-ге тең болады
=
=
,
(2)
Сонымен
қозғалыстағы осьті қозғалмайтын оське
қатысты анықтайтын
тоғыз мәнді шамасы алты шаманың мәнімен
анықталады. Қатты дененің кеңістіктегі
қозғалыс бағытын үш тәуелсіз параметрлермен
анықтайды. Осы шамаларды абсолют
қатты дененің айналуы еркіндік дәрежесі
деп
атайды. Қатты дененің қозғалысы оның
инерция центрінің үш координаттары
- тің қозғалмайтын x,y,z жүйесіне қатысты
айналуын сипаттайтын үш бұрыштармен
анықталатыны жоғарыда айтылды. Осы
аталған бұрыштарды Эйлер
бұрыштары
деп атау көп жағдайда ыңғайлы болып
табылады. Қазіргі жағдайда бізді тек
осьтердің өзара бір-біріне қатысты
бұрыштары қызықтыратындықтан, екі
жүйенің де басын бір нүктеде қарастырамыз.
26 – сурет
ON-түзуін
− түйіндер сызығы деп атайды, яғни бұл
түзу қозғалыстағы
жазықтығы қозғалмайтын xy жазықтығын
қиып түсіреді. Бұл сызық
осіне
және
осіне де перпендикуляр. Оның оң бағытын
векторлық көбейтіндінің бағытымен
сәйкес аламыз.
−
және
осьтерінің орттары.
осьтерінің x,y,z осьтеріне қатысты орнын
анықтайтын шамалар ретінде мынадай
бұрыштарды аламы:
және
осьтерінің
арасындағы – θ бұрышы; x және N осьтерінің
арасындағы – φ бұрышы; N және x´ осьтерінің
арасындағы – ψ бұрышы. φ және ψ бұрыштарын
винт ережесі бойынша сәйкесінше z және
z´осьтерінің маңында бұрылуы бағытын
аламыз. Олардың мәндері 0≤θ≤ π; 0≤φ≤2π;
0≤ψ≤2π болады.