6. Периодты гармониялық күштің әсерінен болатын еріксіз тербелістер

– айқын түрі берілген және ол периодты гармониялық функция түрінде берілген жағдайды қарастырамыз.

(1)

түрінде берілген болса, оның шешімі:

, ал , (2)

; (3)

Орнына қойғанда:

(4)

Сонымен сырттан периодты күш әсер еткенде жүйе жүйенің меншікті жиілігі және мәжбүрлеуші күштің жиілігі болатын екі тербелістің қосындысынан тұратын қозғалысқа келеді.

7. Резонанс кезіндегі тербеліс амплитудасы және энергиясы

Сырттан периодты күш әсер еткенде жүйе жүйенің меншікті жиілігі және мәжбүрлеуші күштің жиілігі болатын екі тербелістің қосындысынан тұратын қозғалысқа келеді. Ал бірақ болғанда, яғни резонанс кезінде бұл теңдеуді қолдана алмаймыз. теңдеуді қайтадан жазамыз: Дара шешімін былай іздейміз: (1)

Бірінші ретті және екінші ретті туындыларын алып, оларды қойғанда: (2) Сонымен дара шешімі (3)

Ал жалпы шешімі (4) Резонанс кезінде амплитуда осылай шексіз өсе береді. Осындай тербеліс жасайтын жүйенің энергиясы (5) Мұндағы (6) Сонымен энергияға арналған өрнекті қайтадан жазатын болсақ: (7)Егер сыртқы күш жүйеге өте аз уақыт аралығында әсер етті деп есептесек, , сонда: (8)

8.Өшетін тербелістер. Өшу коэффициенті

Біз тербелістерді қарастырғанда дененің қозғалысын бос кеңістікте немесе денеге ортаның әсері елеусіз болатын жағдайларды қарастырдық. Негізінде қозғалыс болған ортада осы ортаның қозғалысты тоқтатуға бағытталған әсер күші пайда болады да, қозғалыстағы дененің энергиясы бірте-бірте жылуға айналады немесе осындай қозғалыс тек қана механикалық процесс қана емес, ортаның және дененің жылулық күйін ескеруді қажет ететін күрделі құбылыс болып табылады. Сонымен ортадағы дененің қозғалыс теңдеуі механикадағы қозғалыс теңдеуінен өзгеше болады. Сонда да ортадағы дененің қозғалысы туралы теңдеуде осы ортаның күйін сипаттайтын қосымша мүшені ескерсек, қозғалыс теңдеуін жазуға болады. Осы қосымша мүшелерге, мысалы, ортаның ішкі диссипативті қасиетін сипаттайтын тербеліс жиілігі жатады. Әдетте, бұл тербеліс жиілігі тербелістегі дененің меншікті жиілігінен аз болады. Осы жағдай орындалғанда тербелістегі денеге тек жылдамдыққа тәуелді үйкеліс күші әсер етеді:f_үйк= - (1)

Негізінде – оң таңбалы, «–» таңбасы күштің жылдамдыққа қарсы бағытталғанын көрсетеді. Сонымен қозғалыс теңдеуі: (2) (3) (4) белгілеулерін енгіземіз. (5) ω₀ – үйкеліс жоқ кездегі жүйенің еркін тербелісінің жиілігі, λ – өшу коэффициенті деп аталады. Тұрақты коэффициенттері бар сызықты теңдеулерді шешудің жалпы ережесін пайдаланып: (6) деп аламыз және үшін сипаттаушы теңдеуді іздейміз. ^rt, ²e^rt болғанда,r²e^rt+2 ^rt+ ₀²e^rt=0

r²+2 ₀²=0. Осы теңдеуді шешеміз. Шешімі: (7) ; ; (8) шешімінің түрі – қатынасына байланысты. 1)λ<ω_{0 –} түбірден теріс сан шығып, мәні комплексті болады. 2)λ>ω₀ – оң болады. 3) =ω₀ гармониялық функция болады да, функция тербелісті сипаттайды. (9) (10) (11) Осындай түрдегі тербелісті өшетін тербеліс деп аталады. 2)Енді λ>ω₀ тербелісті былай анықтайды:

(12) ₁, ₂ – оң сандар.Яғни екеуі де экспоненциалды кемитін функциялар. Яғни периодты емес түрде өшеді. Бұл апериодты өшетін қозғалыстың бір түрі. 1)с₁, с₂ - оң 2)с₁ – оң,с₂ – теріс 3) жағдай шешімді былай іздейміз: (13) Бұл да өшетін апериодты тербелістің маңызды жағдайы болады. Бұл жағдайда да қозғалыс тербелістік сипатта болмайды.