40. Линейные ду.

Уравнения вида y’+p(x)*y=f(x),где f(x), p(x) – непрерывны на интервале (0;b), функция наз. Линейной ДУ-1. y’+py=f(x).

Если f(x)=0, y’+py=0 – линейное однородное ДУ1

Если f(x)≠0 – линейное неоднородное.

Метод Бернулли (метод решения): Решение будем искать в виде произведения 2х ф. причем одну из них выбираем сами, а вторую определяем из уравнения y=U(x)*V(x)

Y=u*v. y’=u’v+uv’. u’v+uv’+puv=f. v(u’+pu)+uv’=f. Полагаем, что u’+pu=0, находим частное решение. uv’=f подставляем частное решение.

___________________________________________________________________

44. Ряды. Основные понятия.

Составим последовательность частичных сумм ряда I, i₁,…,i_n. Если последовательность частичных сумм ряда имеет конечный предел I, т.е. I_n=I, то ряд наз. сходимостью число i, наз суммой и пишут a_n=i

Если предел последовательности частичных сумм равен ∞ или вообще не существует, то ряд 1 наз. расходящимся.

_________________________________________________________________

45. Свойства сходящихся рядов.

a₁+a₂+…+a_n-1+a_n (1)

Отбросим конечное число первых членов этого ряда. Получим ряд a_n+a_n+1+…+ a_n+m+…=I_n и назовем остатком ряда (1) после n-го члена.

R_n= a_n+m

I=I_n+R_n

1. Для того, чтобы ряд (1) сходился необходимо и достаточно R_n=0

2. Пусть c=const. Если a_n сходится и его сумма равна I, то a_n=c*a_n (3) и его сумма будет равняться I₁=c*I

3. Пусть a_n=I-cx, b_n=ץ-cx, тогда

(a_n+-b_n)=I+b

_________________________________________________________________

46. Необходимый признак сходимости ряда.

Теорема: Если ряд a_n сходится, то предел его n-ого члена равен 0. a_n=0.

Док-во: I_n=i

I_n=a₁+a₂+…+a_n-1+a_n

I_n-1=a₁+a₂+…+a_n-1

a_n= I_n- I_n-1

• I_n=i

• I_n-1=i

• a_n= ( I_n- I_n-1)=i-i=0

Необходимый признак не является достаточным. Но если он не выполняется, то ряд расходится.

Следствие: a_n≠0 – ряд расходится.

47. Сходимость рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости.

Рассмотрим: , .

1. Первый признак сравнения рядов с положительными членами

,

Выполняется условие 0< a_n <= b_n для всех n ( или насиная с некоторого номера , тогда

1)

Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами

2) - расходится а из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими.

2. Второй признак сравнения

если для 2х положительных рядов , выполняется условие где l не равно 0, то , сходятся или расходятся одновременно.

______________________________________________________________

48. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Если члены ряда состоят из чисел произвольного знака (+,-), то ряд называется знакопеременным.

Рассмотрим - знакопеременный (1)

Составим ряд из его модулей. - знакоположительный (2)

Определение: если сходится ряд из абсолютных величин ряда (1), то сходимость ряда (1) назыв. Абсолютной. Если исходный ряд (1) сходится, а ряд из его абсолютных величин (2) расходится, то такая сходимость ряда (1) называется условной.

_________________________________________________________________