Вопрос 35

Несобственные интегралы на неограниченном промежутке.

П.1 Несобственные интегралы по неограниченному промежутку.

Пусть функция непрерывна на полуоси .

ОПР. Несобственным интегралом функции на называется число

.

Если предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном расходящимся.

ПРИМЕР 1 Исследовать на сходимость интеграл в зависимости от q .

РЕШЕНИЕ. , если . При конечного предела нет и интеграл расходится. При и интеграл также расходится.

Для несобственных интегралов на полуоси справедливы свойства 1-5 с заменой

на .

Вопрос 36

КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛА.

Для сходимости интеграла необходимо и достаточно выполнения условия :

ДОК. Сходимость интеграла равносильна существованию предела , где

- первообразная функции на . Для существования необходимо и достаточно по критерию Коши для предела функции, чтобы

.

ПРИЗНАК АБЕЛЯ-ДИРИХЛЕ для сходимости несобственных интегралов .

Если функция непрерывно дифференцируема на , функция непрерывна на и 1) монотонно убывает и ,

2) имеет ограниченную первообразную : .

Тогда интеграл сходится.

ДОК. . Из условия 1), 2) теоремы следует,что

для любого .

Для второго слагаемого .

Тогда .

ПРИМЕР 3 . Интеграл сходится при .

РЕШЕНИЕ. Функция убывает на , . Первообразная функции равна и ограничена на и по признаку Абеля интеграл сходится .

Вопрос 37( нет: достаточного признака)

Абсолютная сходимость интегралов.

ОПР. Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится

интеграл .

ТЕОРЕМА ( о сходимости абсолютно сходящегося интеграла)

Если функция интегрируема на каждом конечном отрезке полуоси и

интеграл сходится, то также сходится.

ДОК. Из сходимости по критерию Коши следует, что . Для завершения доказательства осталось заметить, что .

Требование интегрируемости функции существенно для справедливости утверждения теоремы.

ПРИМЕР 2. Функция не интегрируема на любом конечном отрезке полуоси , поэтому расходится. Однако, функция

интегрируема и сходится.

Условная сходимость:

Ряд   называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если   существует (и не бесконечен), но  .