Вопрос 12

D. Теорема о среднем для определенного интеграла.

Если функция непрерывна на отрезке , то существует , для которого

.

Действительно, по свойству В , но по теореме об области значений

непрерывной функции , т.е. функция принимает все значения на отрезке в том числе и число .

Вопрос 13

1 Интеграл как функция верхнего предела.

Пусть - непрерывная функция на отрезке . Рассмотрим функцию

, определенную на отрезке . В силу оценки , функция непрерывна на отрезке .

ТЕОРЕМА 1.

Производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции.

ДОК. Вычислим производную функции в точке . Для этого представим приращение , где

. Тогда из теоремы о среднем для интеграла и непрерывности функции следует, что 0, где . Таким образом, функция дифференцируема в точке и ее производная равна .

Если или , то обеспечивается правосторонняя или левосторонняя производная

функции .

СЛЕДСТВИЕ. Если функция кусочно – непрерывна на , то имеет производную равную в точках непрерывности, а точках разрыва функция производной не имеет, но остается непрерывной( разрыв производной первого рода)

Вопрос 14

Пусть - кусочно – непрерывная функция на . Всякая непрерывная на функция называют первообразной функции , если в точках ее непрерывности

. Если и две первообразные , то на каждом интервале непрерывности функции , но в силу непрерывности и константа C сохраняется единой на всех интервалах, т.е. . Согласно теореме 1(производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции) функция является первообразной функции даже, если она кусочно- непрерывна.

Вопрос 15

ТЕОРЕМА 2.( ФОРМУЛА Ньютона-Лейбница)

Если - кусочно – непрерывная функция на и - любая ее первообразная.

Тогда .

ДОК. Функция . Подставляя , получим , т.е.

. Подставляя , получим = .

Вопрос 16

Неформальное геометрическое описание

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определения

Через интегральные суммы

Пусть на отрезке   определена вещественнозначная функция  .

Рассмотрим разбиение отрезка   — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок   на n отрезков  . Длина наибольшего из отрезков  , называется шагом разбиения, где   — длина отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке  . Интегральной суммой называется выражение  .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора  , то это число называется интегралом функции   на отрезке  , т.е.  .

В этом случае, сама функция   называется интегрируемой (по Риману) на  ; в противном случае   является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке  .

Через суммы Дарбу