В
опрос
№1
Вопрос №2
Вопрос №3
П.1 Понятие неопределенного интеграла.
ОПР. Пусть задана
функция
.
Функция
называется первообразной функции
на
,
если
.
У функции может существовать много первообразных . Например, функции
и
являются первообразными функции
.
ТЕОРЕМА 1 (о структуре множества первообразных)
Пусть
и
две первообразные функции
на
.
Тогда
.
ДОК. Предположим
противное :
.
Тогда на
отрезке
для функции
справедлива теорема Лагранжа :
.
Последнее противоречит условию того,
что
и две первообразные функции на , поскольку
на
.
ОПР. Неопределенным интегралом функции на называется множество всех
первообразных
функции
на
.
Обозначение :
.
Операции дифференцирования и интегрирования обратные в том смысле, что
и
Доказательство
этих формул находится на уровне
определений понятий дифференциала
функции и неопределенного интеграла
(самостоятельно). Таким образом, значки
d
и
стоящие рядом друг друга уничтожают.
В качестве простейших
свойств интеграла, вытекающий из его
определения, следует отметить его
линейность :
.
Вопрос №4
Таблица первообразных элементарных функций.
Следующая таблица является обращением таблицы производных элементарных функций.
Каждый результат проверяется дифференцированием.
1.
9.
2.
10.
3.
11.
4.
12.
5.
13.
6.
14.
7.
15.
8.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
.
Вопрос 5
Замена переменной.
ТЕОРЕМА 2.( о замене переменной в неопределенном интеграле)
Пусть функция
имеет непрерывную производную на отрезке
и
,
а функция
непрерывна на
.
Рассмотрим две первообразных
и
.Тогда справедлива формула
.
ДОК.
.
Тогда
.
Пример. Найти
интеграл
.
РЕШЕНИЕ. Делаем
замену
.
Тогда
и , по доказанному,
=
.
Вопрос 6
Интегрирование по частям.
ТЕОРЕМА 3. ( формула интегрирования по частям)
Для любых двух
функций
,
имеющих непрерывные производные
на
,
справедлива формула
.
ДОК.
+
.
Формулу интегрирования по частям записывают обычно в дифференциальной форме :
ПРИМЕР. Вычислить
интеграл
.
РЕШЕНИЕ.
.
ПРИМЕР. Вычислить
интеграл
.
РЕШЕНИЕ.
.
Вопрос 7
Вопрос 8
Вопрос 9
П.1 Понятие интеграла Римана.
ОПР. На отрезке
[a;b]
расположены точки
.
Говорят, что они задают
разбиение
отрезка [a;b]
c
параметром
,
где
.
ОПР. Для любого
набора
точек
выражение
называется
интегральной суммой Римана.
ОПР. Интегралом
Римана функции
на отрезке
называют число равное
.
т.е.
и
.
Функция , для которой существует интеграл Римана, называется интегрируемой.
Существуют функции
не имеющие интеграла, например, на
отрезке
функция
не имеет интеграла,
поскольку существуют
и
с
как угодно малым
значением
,
для которых
=1
и
=0.
Вопрос 10
ТЕОРЕМА 1. ( необходимое условие существования интеграла)
Если существует
интеграл Римана
,
то функция
ограничена на отрезке
.
ДОК. Из условия
существования интеграла следует
ограниченность интегральных сумм Римана
:
для
любых разбиений
с
достаточно малым
и
любым
.
Фиксируем одно из
таких разбиений
.
Пусть функция
неограниченна на
.
Тогда она неограниченна
хотя бы на одном из отрезков разбиения
,
например, на
и изменяя только
можно добиться как угодно больших
значений интегральных сумм :
.
Вопрос 11
П.2 Свойства определенного интеграла.
А. Свойство линейности.
Если функции
,
интегрируемы
на отрезке
,
и
для любого
.
B. Интегрирование неравенства.
Если функции
,
интегрируемы
на отрезке
и
,
то
.
Действительно,
и
знак неравенства не меняется после
предельного перехода.
Если неотрицательная непрерывная функция хотя бы в одной точке отрезка положительна,
то
.
C. Оценка определенного интеграла.
Если
и
,
то
.
Действительно,
и по свойству А
.
Аналогично,
и
по свойству А
.
E. Оценка для модуля интеграла.
Если интегрируемы
функции
и
на отрезке
,
то
.
Действительно, на
отрезке
справедливо
неравенство
.
Тогда
по свойству А
,
откуда следует
.
F. Аддитивность интеграла по множеству.
Если функция
интегрируема на отрезках
и
,
то она интегрируема на их объединении
.
Действительно,
любое разбиение
отрезка
порождает разбиения
отрезков
и
соответственно
с добавленной к ним точкой c
.
Тогда
и , переходя к пределу при
,
получим
