Доведення тверджень та методика навчання доведення учнів.
ознака 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм.
Д
оведення
Нехай
ABCD
—
даний чотирикутник, діагоналі якого
перетинаються в точці О
(мал. а). У трикутниках ВОС
і DOA:
BO
= DO,
OC
= OA
— за умовою;
BOC
=
DOA
як вертикальні. Отже, ∆ВОС
= ∆DOA
за
двома сторонами і кутом між ними. Звідси
BCO
=
DAO,
причому ці кути є внутрішніми
різносторонніми при прямих ВС
і AD
і січній АС.
Отже, ВС
|| AD.
Аналогічно доводимо рівність трикутників
BOA
і DOC
і паралельність прямих АВ
і CD.
Оскільки протилежні сторони чотирикутника
паралельні, то цей чотирикутник —
паралелограм за означенням, що й треба
було довести.
о
знака
2. Якщо
в чотирикутнику дві протилежні сторони
рівні і паралельні, то цей чотирикутник
— паралелограм.
Доведення
Нехай у чотирикутнику ABCD (мал. b) АВ || CD, АВ = CD. У даному чотирикутнику проведемо діагональ АС. Оскільки АВ || CD, а АС — січна, то ВАС = DCA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній. АС — спільна сторона трикутників ВАС і DCA, AB = CD за умовою. Отже, ∆BAC = ∆DCA за двома сторонами і кутом між ними. Звідси ВСА = DAC. Оскільки ці кути внутрішні різносторонні при прямих ВС і AD і січній АС, то BC || AD. Отже, AB || CD, ВС || AD. Таким чином, у чотирикутнику ABCD протилежні сторони паралельні, отже, він паралелограм за означенням, що й треба було довести.
о
знака
3. Якщо
в чотирикутнику протилежні сторони
попарно рівні, то цей чотирикутник —
паралелограм.
Доведення
Нехай у чотирикутнику ABCD (рис. c) АВ = CD, ВС = AD. У даному чотирикутнику проведемо діагональ АС. У трикутниках ABC і CDA: AB = CD, BC = AD — за умовою, АС — спільна сторона. Отже, ∆ABC = ∆CDA за трьома сторонами. Звідси BAC = DCA, BCA = DAC як відповідні кути рівних трикутників. Оскільки кути ВАС і DCA — внутрішні різносторонні при прямих АВ і CD і січній АС, а кути ВСА і DAC — внутрішні різносторонні при прямих ВС і AD і січній АС, то відповідно АВ || CD, BC || AD. Отже, чотирикутник ABCD — паралелограм за означенням, що й треба було довести.
о
знака
4. Якщо
в чотирикутника протилежні кути попарно
рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.
Доведення
Як уже було доведено, сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360°. Нехай у чотирикутнику ABCD (мал. d) A = C, B = D. Оскільки A + B + C + D = 360°, то 2( A + B) = 360°. Звідси A + B = 180°. Оскільки кути А і В — внутрішні односторонні при прямих ВС і AD і січній АВ, то ВС || AD за ознакою паралельності прямих. Аналогічно A + D = 180°, отже, AB || CD. Отже, чотирикутник ABCD — паралелограм за означенням, що й треба було довести.
Аналіз практичних завдань альтернативних підручників.
Ефективність процесу навчання математики учнів загальноосвітніх шкіл, значною мірою залежить від продуманого використання засобів навчання, основними з яких, незважаючи на стрімкий розвиток новітніх інформаційних технологій, були і залишаються підручники.