17. Несмещенная оценка дисперсии случайного члена множественной линей ной регрессии.

Матрицы M,N симметричные и квадрат матрицы равен самой матрице N=X(X’X)^-1X’ ,M=I_n – X(X’X)^-1 X’

причем N - матрица оператора проектирования на подпространство натянутое на столбцы матрицы X,a M- матрица оператора проектирования на подпространство ортогональное столбцам матрицыX .в частности NX=X, MX=0

Непосредственно проверяется,что

Следом tr(A) квадратной матрицы А наз-ся сумма её диогональных элементов.Пользуясь тем что след произведеня матриц не меняется при их циклической перестановке получим

E(e’e)=E(tr(e’e))=E(tr( ))=tr(E(M =tr(M*E(

Значит несмещенной оценкой дисперсии ошибок яв-ся величина

, ili

18.Проверка значимости коэффициентов регрессии

При практическом построении модели линейной регресии существенен вопрос о значимости ее к-в вычисляемых по конкретной выборке.для заданного числа формулируем 2 гипотезы:

Нулевая

Альтернативная

Пусть b_i оценка коэф-та β_i, as_bi- стандартная ошибка оценки b. Оказыается, величина

[(b_i -β_i⁰ )/ s_bi ]~t_(n-k)

t-распределение Стьюдента с n-k степенями свободы

Находим ковариационную матрицу оценки вектора к-вβ:

V(β^)=V((X`X)<sup>-1</sup>X`y)=V((X`X)<sup>-1</sup>X`ε)=(X`X)<sup>-1</sup>X`V(ε)X(X`X)^-1=

(X`X)<sup>-1</sup>X`ϭ^2I_nX(X`X)<sup>-1</sup>= ϭ^2(X`X)^-1

Неизвестная дисперсия заменяется на ее несмещенную оценку

Стандартная ошибка оцененного к-та b_i вычисляется по формуле

S_bi= snizu ii piwem.

Где s - стандартная ошибка регресии

S^2=

Для выбранного числа ᵟ по таблице t- распределинея определяется критическое значение tc=tᵟ/2,n-k)для которого вероятность реализации t~ᵟ такого, что, -tc_≤t≤tc, равна 1-ᵟзатем проверяется условие

-tc≤

Еслии оно не выполняется,гипотеза H0 отвергается ,а при его выполнении принимается

Обычно коэф-т сравнивают с .

В случае ,если,например при гипотеза отвергается ,то говорят,что коэф-т значимый при 5-%уровне

Значения стандартной ошибки коэф-та и соответствующая статистика вычисляются в эконометрических пакетах

19. Качество оцененного уравнения: коэффициент детерминации. Его связь с коэффициентом корреляции.

Суммарной мерой общего качества уравнения регрессии является коэффициент детерминации, который в общем случае рассчитывается по формуле: . Значение коэффициента детерминации показывает степень выраженности линейной связи между переменными и насколько подобранная модель объясняет изменения переменной у.

МНК дает нам оценки α, β : , b= .

следствие из МНК.

, - остаток

Var(y)=var( + var(e) +2cov(

cov(

Var(y)=var( + var(e) | var(y)

1=

– показывает долю разброса зависимой переменной, объясненную при помощи данного уравнения регрессии, в общем разбросе зависимой переменной.

При (МНК), коэффициент детерминации R^{2 .}.Минимальное значение коэффициента детерминации равно 0 достигается при RSS=TSS. В этом случае связи между переменными нет. Подобранная модель не объясняет изменчивость переменной у.

Максимальное значение коэффициента детерминации равно 1, достигается при RSS=1. Подобранная модель в полной мере объясняет изменчивость переменной у.

Для парной регрессии R²=r²_xy.