8. Статистические свойтва мнк для модели парной линейной регрессии.

Можно судить о свойсвтах параметров a, b лишь, если наложены определенные условия на реализации εi случайного члена. В классической модели линейной регрессии делаются след-ие предположения:

1. Объясняющая величина х считается неслучайной величиной. Поэтому реализации зависимой переменной yi определяется реализациями случайного члена. А поскольку параметры a , b оцененного уравнения регрессии вычисляются по данной выборке, то и они определяются возмущениями ε1,ε2,…, являются случайными величинами. Поскольку объясняющая переменная х детерминированная, распределение случайного члена ε не зависит от х.

2. Мат ож E(εi)=0, i=1n, т.е случ член не имеет систематических отклонений.

3. Дисперсия εiпостоянна для всех наблюдений: var(εi)=ϭ^2, i=1n, причем величина ϭ^2 не считается не известной. Это условие нарушается, если, например, с ростом номера i разброс значений εi увеличивается.

4. Случайные члены во всех наблюд.должны быть независимы друг от друга. Это условие,в частности,означает, что cov(εi, εj)=0, Е(εi, εj)=0,для всех ij=1n

Имея ввиду условия 1 и 2, можно записать: εi~N(0, ϭ^2, i=1n

Теорема Гаусса-Маркова устверждает, что оценки коэф пар лин регр по МНК при выполнений условий 1-4 несмещенные и эф-ые, т.е оценки BLUE.

Проверим несмещенность коэффициента b.

Е(b)=

Если учесть св-ва выбор-ой ковар и предположения 1 и 2, то уваидим, что в скобках первое и третье слагаемые равны 0, а второе слагаемое равно . Тогда Е(b)= , т.е оценка несмещенная.

Оценка а параметра α также несмещенная:

E(a)=E(yср-bxср)= E(yср)- E(b)xср= =

9. Проверка стат значимости коэфф-ов парной линейной регрессии.

Могут быть выдвинуты две альтернативные гипотезы:

Н0:

Н1: Если верна нулевая гипотеза Н0, то оценка b~N( , и получаемая путем линейного преобразования величина имеет стандартное распределение:

Z=(b- / Место для формулы.~N(0.1)

Т.к среднекв откл не известно, воспользоваться стандартн норм распред не удастся. Для парной регрессии оценкой дисперсии случайного члена яв-ся величина s^2=[1/(n-2)]* , где ei=yi-yср i=1n

А для коэфф a,b:

Квадратные корни sa sb из оценок дисперсий наз-ся стандартными ошибками коэф-ов a, b соответственно. Случайная величина t=(b- в предположении справедливости гипотезы Н0 имеет t-распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы. Для вычисленного t возможны 2 ситуации. 1) величина t попадает в критическую область, т.е t<-ti или t>ti. Это означает, что произошло маловероятное событие, которое считается практически нереализ-м. Гипотеза Н0 отвергается в пользу Н1. 2) Выч-ое значение t-статистики поп в интервал от –ti do ti. Это событие, вероятность которого равна 1- Ϭ, т.е 0,95 или 0,99. Гипот Н0 принимается.

Н0: , Н1

Фактически, это проверка наличия линейной связи м/у переменными. Даже если коэффициент равен 0, его оценка b нулю равняться не будет,т.к величина b вычисляется на основании формулы по данным выборки. В этом случае t-статистика представляет собой отношение оцененного коэффициента к его стандартной ошибке: t=b/Sb. Аналогично проводится проверка гипотез для коэффициента a. Если гипотеза Н0 отвергается, коэфф значим на 5-проц и 1-проц уровне соответственно.