4.Общая схема проверки гипотез. Ошибки I, II рода.

Под гипотезой понимается некоторое утверждение, относящееся к генеральной совокупности. Обычно выдвигаются 2 гипотезы: одна- нулевая гипотеза, которая принимается, когда нет убедительных оснований для ее отклонения, и другая- альтернативная гипотеза, которая принимается, когда есть существенные причины для

отвержения нулевой гипотезы.

Обычную схему проверки гипотез рассмотрим на примере гипотезы о равенстве матем ожид μ случвеличины х~N(μ,σ²) некоторому заданному значению μ0. Будем считать , что дисперсия σ² неизвестна. Сформулируем 2 гипотезы: Н0:μ=μ0 – основная гипотеза

Н1:μ≠μ0 – альтернативная гипотеза

Для выборки х1,х2,….,хn среднее хср, яв-ся несмещенной и эффективной оценкой мат ожид μ, причем х~N(μ, σ²/n).

Смысл проверки гипотез состоит в том, что если оценка μ, в данном случае равная хср, достаточно удалена от μ0, то основная гипотеза Н0 должна быть отвергнута в пользу альтернативной гипотезы Н1.

Выберем положительное число δ. Обычно берут значения 0,05 и 0,01. В условиях гипотезы Н0 имеем хср~N(μ0,σ²/n) и тогда линейное преобразование дает:

z=(xcp-μ0)/(σ/√n)~N(0,1)

Возможны 2 ситуации. В первой ситуации имеет место неравенство:│xcp-μ0/(σ/√n)│>z_c

Это значит, что происходит маловероятное , практически невозможное событие. Гипотеза Н0 отклоняется, и принимается гипотеза Н1.

Во второй ситуации имеет место неравенство:

│xcp-μ0/(σ/√n)│≤ z_c

Вероятность этого события равна 1-δ, т е близка к 1. Так как это событие вполне вероятное, гипотеза Н0 не отвергается, а принимается.

Ошибка 1 рода возникает, когда отвергается истинная гипотеза. Ошибка 2 рода возникает, когда не отвергается ложная гипотеза.

При уменьшении δ критическая область сужается, следовательно увеличивается вероятность принятия ложной гипотезы Н0, т е возрастает риск ошибки 2 рода. А при увеличении δ критическая область расширяется, и возрастает вероятность отвержения истинной гипотезы Н0, растет риск ошибки 1 рода.

5.Интервальные оценки для нормального распределения при неизвестной дисперсии.

Интервальное оценивание предполагает построение интервала, в котором с наперед заданной вероятностью содержится истинное значение оцениваемого параметра. Пусть оценивается какой-либо параметр Ө. Доверительным интервалом наз-ся интервал [Ө1,Ө2], который с заданной вероятностью 1-δ накрывает истинное значение этого параметра. Величина δ обычно выбирается равной 0.1, или 0.05, или 0.01, что соответствует 90, 95, 99-процентным доверительным уровням.

Линейное преобразование, приводящее к стандартному нормальному распределению, невозможно выполнить, так как σ неизвестно. Естественно заменить неизвестную дисперсию на выборочную дисперсию:

s²=1/n-1Ʃ(xi-xcp)², которая яв-ся несмещенной оценкой дисперсии σ², и рассмотреть случ величину:

t=(xcp-μ)/(s/√n). В отличие от z эта величина t представляет собой отn-1ношение 2х случ величин и не яв-ся результатом линейного преобразования и поэтому не распределена по нормальному закону. Можно показать, что она имеет распределение Стьдента с степенями свободы: t~t_[n-1]. По таблице распределения Стьюдента для выбранного уровня δ найдем критическое значение t-статистики tc, такое что Prob{-tc ≤ t ≤ tc}=1-δ, t~t_[n-1].

Критическое значение t-статистики обозначается также через t_δ/2,n-1. Подставляя выражение для t в неравенства выполняя преобразования аналогичные выполненным для случая с известной дисперсией, получим:

Prob{xcp-t_cs/√n≤μ≤xcp+ t_cs/√n }=1-δ

Следовательно, в случае с неизвестной дисперсией [xcp- t_cs/√n, xcp+t_cs/√n] есть доверительный интервал для нормального распределения.