55. Критерий Найквиста

Критерий Найквиста основан на рас­смотрении амплитудно-фазовой характеристики W(jω) разомк­нутой системы, по виду которой можно судить об устойчивости замкнутой системы, что обусловлено наличием однозначной за­висимости между передаточной функцией W(р) разомкнутой системы и характеристическим уравнением замкнутой [1,2,3].

Амплитудно-фазовая характеристика W(jω) может быть по­строена расчетным путем на основании аналитического выраже­ния функции W(р) при замене в последней р на jω и измене­нии ω от 0 до ∞ (практически расчет заканчивается, когда значения модуля |W(jω)| становятся достаточно малыми).

Эта характеристика может быть также получена экспери­ментально, в частности, по снятым опытным путем частотным характеристикам отдельных звеньев системы. Это обстоятель­ство является важным практическим преимуществом частотно­го критерия Найквиста. Формулировка критерия устойчивости замкнутой системы управления зависит от свойств разомкнутой системы. Согласно критерию Найквиста, если разомкнутая система устойчива, т.е. ее характеристическое уравнение не имеет кор­ней с положительной вещественной частью (но может иметь нулевые корни), то для устойчивости замкнутой системы авто­матического управления необходимо и достаточно, чтобы ампли­тудно-фазовая характеристика W(jω) не охватывала точку с ко­ординатами (-1, j0).

На рисунке 9.1, приведена амплитудно-фазовая характеристика (годограф), частотной функции разомкнутой системы если задана частотная функция разомкнутой систе­мы K(jω).

Если же разомкнутая система имеет т корней с положи­тельной вещественной частью, то для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы характеристика W(jω)

векторов K(jω) и W(jω)

охватывала точку (-1, j0) в положительном направлении раз.

56. Критерий Михайлова.

Критерий устойчивости Михайлова основан на построении так называемой кривой Михайлова, представляющей собой годограф вектора H(jω), вычерчивае­мый при изменении ω от 0 до ∞ (практически ограничиваются достаточно большими значениями ω, при которых - угол поворо­та вектора перестает изменяться с увеличением ω).

Комплексная функция Н(jω) получается подстановкой р=jω в характеристический полином Н(р), стоящий в левой ча­сти характеристического уравнения.

Согласно критерию Михайлова, для устойчивости системы автоматического управления n-го порядка необходимо и доста­точно, чтобы характеристическая кривая Михайлова при изме­нении ω от 0 до ∞ , начиная с положительной вещественной оси, обошла последовательно в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки) п квадрантов.

Если представить комплексную функцию Н(jω) в виде

Н(jω)=x(ω)+jy(ω)

и построить графики вещественных функций x(ω) и y(ω), от­кладывая ω по оси абсцисс в положительном направлении, то можно указать другую формулировку критерия Михайлова. Согласно этой формулировке, графики функций х(ω) и y(ω) для устойчивой системы должны пересекать ось ω, последова­тельно чередуясь друг с другом.

Рисунок 9.2,а показывает годографы устойчивой си­стемы, где для уравнений п-го порядка кривая, вычер­ченная вектором F(jω), проходит без пропусков последо­вательно п квадрантов справа налево; на рисунке. 9.2,б приведена кривая, вычерченная вектором F(jω) для не­устойчивой системы регулирования; на рисунке 9.2,в при­ведена проходящая через начало координат кривая F(jω) для системы, находящейся на границе устойчи­вости.

Алгебраические критерии Гурвица и Рауса удобны при про­верке устойчивости систем до пятого-шестого порядка. Для си­стем высших порядков выгоднее применять частотные критерии Найквиста и Михайлова.

Рисунок 9.2 - Вид годографов F(jω) замкнутой системы для устойчивой, неустойчивой и нейтральной систем

При исследовании устойчивости систем автоматического уп­равления может ставиться задача не только проверки устойчи­вости системы при заданных значениях ее параметров, но также и определения некоторой области изменения отдельных пара­метров, внутри которой система остается устойчивой.

Построение областей устойчивости в функции одного и двух параметров системы управления может быть выполнено при помощи любого критерия устойчивости. Существуют различные формальные способы выделения областей устойчивости. Одна­ко эффективность применения того или иного способа в силь­ной степени зависит от конкретного содержания решаемой за­дачи. Поэтому целесообразно не приводить общее описание этих способов, а предоставить читателю, освоить сущность некоторых из них на конкретных примерах, рассматриваемых в пособии, с указанием, по мере необходимости, на соответст­вующие руководства по теории.