52. Критерий Рауса

Критерий Рауса. Практически критерием Гурвица выгодно пользоваться при исследовании устойчивости систем автомати­ческого управления не выше пятого порядка. Для систем более высоких порядков удобнее применять критерий Рауса.

Составим таблицу-схему из коэффициентов, характеристиче­ского уравнения (таблица 6.1). В первую строку таблицы вписы­ваются коэффициенты с четными индексами, а во вторую — с нечетными. Все последующие строки получаются в результате делений разности перекрестных произведений коэффициентов двух предыдущих строк на коэффициент первого столбца пре­дыдущей строки. Всего таблица содержит n+1 строку.

Согласно критерию Рауса, для устойчивости системы необ­ходимо и достаточно, чтобы при a0>0 все коэффициенты первого столбца таблицы 8.1 были положительны, т. е. чтобы

>0, >0, >0, >0,...

Таблица 8.1 - Коэффициенты характеристиче­ского уравнения

…	…	…	…

53. Основные частотные критерии устойчивости сау.

Частотные критерии устойчивости в настоящее время получили широкое признание. Одним из таких критериев является критерий Найквиста, или, как его также назы­вают, частотный амплитудно-фазовый критерий, явля­ющийся следствием известной теоремы Коши, другим является критерий Михайлова.

Амплитудно-фазовый критерий дает возможность судить об устойчивости замкнутой системы посредством исследования разомкнутой системы. Исследование же разомкнутой системы проще, чем замкнутой и, кроме того, его можно производить также экспериментально.

Руководствуясь формой и расположением на ком­плексной плоскости амплитудно-фазовой характеристи­ки разомкнутой системы, можно судить о динамических свойствах замкнутой системы.

Частотные критерии обладают большой наглядностью в силу их простой геометрической интерпретации

54. Устойчивость систем по критериям Найквиста и Михайлова

Критерий устойчивости Найквиста

Э тот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду АФЧХ разомкнутой САУ (рис.70). Исследование разомкнутой САУ проще, чем замкнутой. Его можно производить экспериментально, поэтому часто оказывается, что АФЧХ разомкнутой САУ мы имеем или можем получить.

Передаточная функция разомкнутой САУ:

Wp(p) = Wp(p)/Dp(p) = > уравнение динамики: y(t) = e(t),

 Или Dp(p) y(t) = Kp(p) e(t).  

Здесь Dp(p) - характеристический полином разомкнутой САУ. То есть по виду корней уравнения Dp(p) = 0 можно судить об устойчивости разомкнутой САУ. Но это пока ничего не говорит об устойчивости замкнутой САУ.

Для того, чтобы получить уравнение динамики замкнутой САУ при свободном движении, считаем, что внешнее воздействие u = 0, тогда на вход первого звена САУ подается сигнал

 

e(t) = u(t) - y(t) = - y(t).  

То есть Dp(p) y(t) = Kp(p) ( - y(t)),  

следовательно уравнение замкнутой САУ:

(Dp(p) + Kp(p)) y(t) = 0.

Критерий устойчивости Михайлова

 

Т ак как для устойчивой САУ число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(j ) составит

 

= n π/2.

 

То есть САУ будет устойчива, если вектор D(j ) при изменении частоты от 0 до + повернется на угол n π/2.

При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Она начинается на положительной полуоси, так как D(0) = an, и последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, уход в бесконечность в n - ом квадранте  (рис.69а).

Если это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов  (рис.69б)), то такая САУ неустойчива - это и есть необходимое и достаточное условие критерия Михайлова.

Достоинства. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.