Обчислення сум числових рядів
Користуючись відомими розвиненнями у степеневі ряди, суму числового ряду в деяких випадках можна виразити у вигляді значення функції у певній точці.
Приклад
28. Обчислити
суму ряду
,
не вдаючись до часткових сум.
Розв’язання.
Загальний член даного ряду
.
За ознакою Лейбніца ряд є абсолютно
збіжним.
Розглянемо степеневий ряд
.
Цей ряд
є абсолютно збіжним при
.
Використавши формулу 2 додатку А таблиці А, маємо
Застосувавши метод Абеля для знаходження сум рядів, отримаємо
.
Приклад
29. Обчислити
суму ряду
,
не вдаючись до часткових сум.
Розв’язання.
Загальний член даного ряду
.
Отже, за ознакою порівняння, ряд є
абсолютно збіжним, бо
при
.
Розглянемо степеневий ряд
.
Цей ряд є абсолютно збіжним при , і як любий степеневий ряд, всередині інтервалу збіжності має похідну
.
Інтегруючи обидві частини отриманої рівності, знаходимо:
.
Оскільки
,
то звідси прямує, що
.
Отже,
.
Як видно, тут можна застосувати метод Абеля для знаходження сум рядів. Тому маємо:
.
Розділ 2. Завдання для індивідуальної роботи Теоретичні питання
Числові ряди. Поняття збіжності ряду. Необхідна умова збіжності і достатня умова розбіжності ряду.
Властивості числових рядів. Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності, ознаки порівняння.
Ознака Д’Аламбера.
Ознака Коші.
Інтегральна ознака Коші.
Знакозмінні ряди. Ряди, в яких знаки членів строго чергуються. Ознака Лейбніца.
Функціональні ряди.
Степеневі ряди. Теорема Абеля.
Ряди Тейлора і Маклорена.
Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
Властивості степеневих рядів. Розкладання функцій в степеневі ряди:
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
Наближені обчислення за допомогою степеневих рядів:
а) наближені обчислення значень функцій;
б) наближене обчислення визначених інтегралів;
в) наближене інтегрування диференціальних рівнянь.
Розрахункові завдання
Написати формулу -го члену ряду
1.01 |
|
1.14 |
|
1.02 |
|
1.15 |
|
1.03 |
|
1.16 |
|
1.04 |
|
1.17 |
|
1.05 |
|
1.18 |
|
1.06 |
|
1.19 |
|
1.07 |
|
1.20 |
|
1.08 |
|
1.21 |
|
1.09 |
|
1.22 |
|
1.10 |
|
1.23 |
|
1.11 |
|
1.24 |
|
1.12 |
|
1.25 |
|
1.13 |
|
1.26 |
|
2.01 |
|
2.14 |
|
2.02 |
|
2.15 |
|
2.03 |
|
2.16 |
|
2.04 |
|
2.17 |
|
2.05 |
|
2.18 |
|
2.06 |
|
2.19 |
|
2.07 |
|
2.20 |
|
2.08 |
|
2.21 |
|
2.09 |
|
2.22 |
|
2.10 |
|
2.23 |
|
2.11 |
|
2.24 |
|
2.12 |
|
2.25 |
|
2.13 |
|
2.26 |
|
Знайти суму ряду
3.01 |
|
3.14 |
|
3.02 |
|
3.15 |
|
3.03 |
|
3.16 |
|
3.04 |
|
3.17 |
|
3.05 |
|
3.18 |
|
3.06 |
|
3.19 |
|
3.07 |
|
3.20 |
|
3.08 |
|
3.21 |
|
3.09 |
|
3.22 |
|
3.10 |
|
3.23 |
|
3.11 |
|
3.24 |
|
3.12 |
|
3.25 |
|
3.13 |
|
3.26 |
|
4.01 |
|
4.14 |
|
4.02 |
|
4.15 |
|
4.03 |
|
4.16 |
|
4.04 |
|
4.17 |
|
4.05 |
|
4.18 |
|
4.06 |
|
4.19 |
|
4.07 |
|
4.20 |
|
4.08 |
|
4.21 |
|
4.09 |
|
4.22 |
|
4.10 |
|
4.23 |
|
4.11 |
|
4.24 |
|
4.12 |
|
4.25 |
|
4.13 |
|
4.26 |
|
Дослідити на збіжність ряди
5.01 |
|
5.14 |
|
5.02 |
|
5.15 |
|
5.03 |
|
5.16 |
|
5.04 |
|
5.17 |
|
5.05 |
|
5.18 |
|
5.06 |
|
5.19 |
|
5.07 |
|
5.20 |
|
5.08 |
|
5.21 |
|
5.09 |
|
5.22 |
|
5.10 |
|
5.23 |
|
5.11 |
|
5.24 |
|
5.12 |
|
5.25 |
|
5.13 |
|
5.26 |
|
6.01 |
|
6.14 |
|
6.02 |
|
6.15 |
|
6.03 |
|
6.16 |
|
6.04 |
|
6.17 |
|
6.05 |
|
6.18 |
|
6.06 |
|
6.19 |
|
6.07 |
|
6.20 |
|
6.08 |
|
6.21 |
|
6.09 |
|
6.22 |
|
6.10 |
|
6.23 |
|
6.11 |
|
6.24 |
|
6.12 |
|
6.25 |
|
6.13 |
|
6.26 |
|
7.01 |
|
7.14 |
|
7.02 |
|
7.15 |
|
7.03 |
|
7.16 |
|
7.04 |
|
7.17 |
|
7.05 |
|
7.18 |
|
7.06 |
|
7.19 |
|
7.07 |
|
7.20 |
|
7.08 |
|
7.21 |
|
7.09 |
|
7.22 |
|
7.10 |
|
7.23 |
|
7.11 |
|
7.24 |
|
7.12 |
|
7.25 |
|
7.13 |
|
7.26 |
|
8.01 |
|
8.14 |
|
8.02 |
|
8.15 |
|
8.03 |
|
8.16 |
|
8.04 |
|
8.17 |
|
8.05 |
|
8.18 |
|
8.06 |
|
8.19 |
|
8.07 |
|
8.20 |
|
8.08 |
|
8.21 |
|
8.09 |
|
8.22 |
|
8.10 |
|
8.23 |
|
8.11 |
|
8.24 |
|
8.12 |
|
8.25 |
|
8.13 |
|
8.26 |
|
9.01 |
|
9.14 |
|
9.02 |
|
9.15 |
|
9.03 |
|
9.16 |
|
9.04 |
|
9.17 |
|
9.05 |
|
9.18 |
|
9.06 |
|
9.19 |
|
9.07 |
|
9.20 |
|
9.08 |
|
9.21 |
|
9.09 |
|
9.22 |
|
9.10 |
|
9.23 |
|
9.11 |
|
9.24 |
|
9.12 |
|
9.25 |
|
9.13 |
|
9.26 |
|
10.01 |
|
10.14 |
|
10.02 |
|
10.15 |
|
10.03 |
|
10.16 |
|
10.04 |
|
10.17 |
|
10.05 |
|
10.18 |
|
10.06 |
|
10.19 |
|
10.07 |
|
10.20 |
|
10.08 |
|
10.21 |
|
10.09 |
|
10.22 |
|
10.10 |
|
10.23 |
|
10.11 |
|
10.24 |
|
10.12 |
|
10.25 |
|
10.13 |
|
10.26 |
|
11.01 |
|
11.14 |
|
11.02 |
|
11.15 |
|
11.03 |
|
11.16 |
|
11.04 |
|
11.17 |
|
11.05 |
|
11.18 |
|
11.06 |
|
11.19 |
|
11.07 |
|
11.20 |
|
11.08 |
|
11.21 |
|
11.09 |
|
11.22 |
|
11.10 |
|
11.23 |
|
11.11 |
|
11.24 |
|
11.12 |
|
11.25 |
|
11.13 |
|
11.26 |
|
