Розділ 1. Числові ряди

[1], гл. 16, §§ 1 – 8; [2], гл. 9, §1, п. 1.1.– 1.6. ; [3], гл. 21, §§1 – 7; [4], розділ 5, гл.14; [5], гл. 1, §§ 1 – 3

1. Числові ряди. Основні означення

Нехай задана нескінченна послідовність чисел

. (1)

Вираз виду

(2)

називається числовим рядом; – члени ряду; – загальний член ряду.

Індекс, що стоїть в кожному члені ряду, вказує його порядковий номер у ряді.

Приклад 1. Написати формулу -го члену ряду .

Розв’язання. Проаналізувавши даний вираз можна зробити висновок, що загальним членом ряду є:

.

Суми перших членів ряду називають частковими сумами і позначають:

. (3)

Якщо існує кінцева границя часткової суми при , тобто

, (4)

то її називають сумою ряду (2). Числовий ряд, який має скінчену суму, називається збіжним, в іншому разі ряд називають розбіжним.

-м залишком збіжного ряду називається різниця між сумою ряду і його -ю частковою сумою.

Залишком ряду називається та похибка, яка отримується при заміні суми ряду його частковою сумою.

Тому суму збіжного ряду завжди можна обчислити з любою степінню точності, взявши з достатньо великим .

1. Властивості числових рядів. Знаходження їх сум

Основні властивості числових рядів

1°. Якщо всі члени ряду (2) помножити на одне й те ж число, то ряд

буде збіжним, якщо збіжним є ряд (2) і розбіжним, якщо ряд (2) є розбіжним.

2°. Якщо збіжними є ряди

і ,

То буде збіжним і ряд, отриманий від почленного складання або віднімання членів цих рядів, тобто збіжними будуть ряди

3°. Якщо в ряді (2) приписати до початку або відкинути з його початку кінцеве число членів, то отриманий від цих дій новий ряд буде збіжним, якщо збіжним є початковий ряд (2), і розбіжним, якщо ряд (2) є розбіжним.

4°. Якщо ряд (2) є збіжним, то сума його залишку після -го члену прямує до нуля при .

Критерій Коші збіжності ряду. Числовий ряд (2) збіжний тоді й тільки тоді, коли

В теорії рядів існує дві задачі:

Перша, головна, існує ряд, потрібно дослідити його на збіжність.

Друга, якщо відомо, що ряд є збіжним, як знайти його суму?

Приклад 2. Знайти суму ряду .

Розв’язання. Безпосередньо знаходимо:

.

Отже, .

Приклад 3. Знайти суму ряду .

Розв’язання. Спочатку розкладемо даний дріб на елементарні дроби

;

;

Отже, вираз, який стоїть під знаком суми можна записати так:

П ри

……………………………………..

Після скорочень , матимемо

. Тоді .

3. Ознаки збіжності додатних рядів

Встановити збіжність (розбіжність) ряду шляхом визначення і обчислення можливо далеко не завжди із-за принципових труднощів при знаходженні (складанні членів ряду). Простіше це можна зробити використавши ознаки збіжності рядів.

Необхідна умова збіжності числового ряду

Якщо ряд (2) збіжний, то .

Умова є тільки необхідною умовою для збіжності ряду , але не доста-тньою. Це означає, що існують розбіжні ряди, для яких ця умова виконується.

Достатня умова розбіжності числового ряду

Якщо , то ряд (2) розбіжний.

Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Границя загального члену , тобто загальний член не прямує до нуля. Необхідна умова збіжності ряду не виконується і тому даний ряд є розбіжним.

Збіжність або розбіжність ряду не порушиться, якщо добавити або відкинути скінчене число членів ряду.

При дослідженні рядів з додатними членами на збіжність застосовують такі достатні ознаки: