4. Ряд Тейлора. Розвинення функцій у степеневі ряди

Якщо функція має у точці похідні будь-якого порядку, то рядом Тейлора функції за степенями називається степеневий ряд

. (18)

Якщо степеневий ряд збігається до функції у деякому околі точки , то цей ряд є рядом Тейлора для функції за степенями і його називають ще розвиненням функції у степеневий ряд в околі точки (або за степенями ).

Якщо , то ряд Тейлора називають ще рядом Маклорена і тоді

. (19)

Розвинення функцій в степеневі ряди наведені в додатку 1.

Приклад 19. Знайти суму ряду .

Розв’язання. Спочатку знайдемо область збіжності ряду, застосувавши ознаку Д’Аламбера

; .

.

За вибраною ознакою ряд збіжний, якщо , або , або , звідки, маємо .

Для того щоб знайти область збіжності ще треба дослідити ряд на границі інтервалу збіжності

При отримаємо ряд .

Це знакопочережний ряд, який досліджуємо на збіжність за ознакою Лейбніца. За цією ознакою потрібно перевірити два пункти:

1) ;

2) .

За ознакою Лейбніца ряд є збіжним, отже значення належить інтервалу збіжності.

При отримуємо ряд .

Він також є знакопочережним і застосовуючи знов ознаку Лейбніца отримаємо, що досліджуваний ряд є збіжним. Тим самим, точка належить інтервалу збіжності ряду.

Отже, – область збіжності досліджуваного ряду.

Тепер будемо знаходити суму ряду, застосовуючи властивості степеневих рядів

;

;

.

Приклад 20. Знайти суму ряду .

Розв’язання. Знайдемо радіус збіжності цього ряду за формулою (16).

.

Отже, ряд збігається всередині інтервалу . Запишемо цей ряд у вигляді

.

Розгляне кожну суму окремо

, де .

, де .

.

Звідки . Тоді . Диференціюючи ще раз, отримаємо .

.

Перша сума буде дорівнювати .

Друга сума буде дорівнювати .

Третя сума буде дорівнювати .

Отже, остаточно дістанемо при

.

Приклад 21. Розвинути функцію в ряд Тейлора по степеням .

Розв’язання. Знаходимо похідні функції і їх значення в точці :

, ;

, ;

, ;

…………………………………………………………………….

, ;

…………………………………………………………………….

Тепер перевіримо прямування залишкового члену до нуля при . Для цього оцінимо його абсолютну величину

.

Для ряду

при всіх , отже, ряд є збіжним (в силу ознаки Д’Аламбера), а його загальний член при (в силу необхідної ознаки збіжності), тому і залишковий член , що має модуль, менший за , і тим паче прямує до нуля при всіх . Тому має місце розвинення

.

Приклад 22. Розвинути функцію в ряд Тейлора по степеням .

Розв’язання. Піднесемо заданий вираз до квадрата і скористаємось розвиненнями в ряди функцій і . Оскільки відповідні ряди збігаються , то виконавши почленне додавання, дістанемо шукане розвинення:

, .

Приклад 23. Розвинути функцію в ряд Тейлора по степеням .

Розв’язання. Виконаємо такі перетворення

.

Покладемо і скористаємось розвиненням за формулою 7 додатку 1 стосовно функції , . Тоді для , тобто для , дістанемо

.