3. Ряди з довільними членами

Ряд, що містить як додатні так і від’ємні члени називається знакозмінним.

Розглянемо тепер ряд, знаки членів якого строго чергуються, тобто ряд, у якого довільні два сусідні члени мають різні знаки (знакопочережний ряд):

, (7)

де , .

Цей ряд досліджується на збіжність за допомогою достатньої ознаки Лейбніца.

Теорема (ознака Лейбніца). Ряд (7) збіжний, якщо:

1)

2) .

При цьому сума ряду додатна і не перевищує першого її члена.

Ряд (7) є абсолютно збіжним, якщо є збіжним ряд складений із абсолютних величин ряду (7), тобто:

. (8)

Якщо ж ряд (7) є збіжним, а ряд (8) є розбіжним, то ряд (7) називається умовно збіжним.

Приклад 11. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряд .

Розв’язання. Перевіримо виконання умов теореми Лейбніца:

1) – члени ряду спадають по абсолютній величині;

2)

Отже, даний ряд є збіжним.

Дослідимо на збіжність ряд складений із абсолютних величин членів даного ряду

До цього ряду застосуємо ознаку Д’Аламбера:

.

.

Цей ряд є збіжним. Отже ряд, в якому знаки членів строго чергуються, є абсолютно збіжним.

Приклад 12. Обчислити суму ряду з точністю .

Розв’язання. За умовою повинна виконуватися нерівність

,

або .

При буде забезпечена потрібна точність, оскільки

,

і ліва частина буде перевищувати праву.

Отже,

.

Як видно з результату, дана сума не перевищує першого члену.

Приклад 13. Довести справедливість рівності . (Відповіддю служить число , яке отримуємо при застосуванні ознаки Д’Аламбера або ознаки Коші).

Розв’язання. Застосуємо ознаку Д’Аламбера

; .

Знайдемо

.

Границя дорівнює нулю, оскільки в чисельнику стоїть лінійна функція, а в знаменнику показникова, яка зростає набагато швидше ніж лінійна (або можна застосувати правило Лопіталя-Бернуллі).

Взагалі, якщо величина, яка стоїть під знаком границі в умові прикладу, є -м членом ряду, то за проведеним дослідженням, з застосуванням ознаки Д’Аламбера, такий ряд є збіжним . А ми знаємо, що для збіжного ряду виконується необхідна умова збіжності, тобто , що й треба було довести.

Розділ 2. Функціональні та степеневі ряди

[1], гл. 16, § 9–16; [2], гл. 9, §2, п. 2.1.– 2.6.; [3], гл. 21, §§8 – 14; [4], розділ 5, гл.13; [1], гл. 16, §§ 4 – 5

1. Функціональні ряди. Основні поняття

Функціональним рядом називають вираз

, (9)

де – задана функціональна послідовність, . При цьому називають -м або загальним членом функціонального ряду. – числова множина або будь-яка множина, яка лежить на числовій прямій; – множина дійсних чисел.

При кожнім фіксованім значенні функціональний ряд (9) стає числовим рядом.

Функціональний ряд (9) називається збіжним (абсолютно збіжним) у точці , якщо числовий ряд є збіжним (абсолютно збіжним), і збіжним (абсолютно збіжним) на множині , якщо він є збіжним (абсолютно збіжним) . При цьому сума ряду (9) є функцією змінної , , і кажуть, що розвивається в ряд (9) на множині .

Множину всіх точок , при яких ряд (9) збігається (абсолютно збігається), називають множиною або областю збіжності (абсолютної збіжності) цього ряду.

Сумою ряду (9) називається функція :

(10)

Залишком ряду (9) називається функція :

(11)

Мажорантна ознака Вейєрштрасса. Якщо для функціонального ряду (9) існує збіжний мажорантний на числовий ряд ,

то ряд (9) є збіжним на .

Критерій Коші. Для рівномірної збіжності ряду (9) на проміжку необхідно і достатньо, щоб таке, що нерівність

виконувалось відразу для всіх .

Ознака Діріхле. Якщо часткові суми ряду

(12)

рівномірно обмежені на проміжку , тобто існує така стала , що

при і всіх ,

а послідовність функцій монотонно не зростаюча, рівномірно прямує до нуля на , то ряд

(13)

збігається рівномірно на .

Ознака Абеля. Ряд (13) збігається рівномірно на проміжку , якщо ряд збігається рівномірно на , а функції обмежені в сукупності, і при кожному утворюють монотонну послідовність.

Приклад 14. Знайти область збіжності функціонального ряду .

Розв’язання. Зафіксуємо довільне і розглянемо додатний числовий ряд із загальним членом . Застосуємо до нього ознаку Коші: . Звідси дістанемо, що коли , тобто , то ряд є збіжним, а заданий функціональний ряд є абсолютно збіжним. Якщо , тобто , то , а отже, заданий ряд є розбіжним. Нарешті, якщо , то або , або , і тому заданий функціональний ряд матиме вигляд або і є в обох випадках збіжним. Таким чином, заданий функціональний ряд є абсолютно збіжним , і розбіжним для всіх інших .

Приклад 15. Знайти область збіжності функціонального ряду ; .

Розв’язання. Оскільки частинні суми, в силу оцінки

,

обмежені, а функціональна послідовність

рівномірно по і монотонно по

прямує до нуля при , то, згідно ознаки Діріхле, ряд є збіжним рівномірно.

Приклад 16. Знайти область збіжності функціонального ряду .

Розв’язання. Члени функціонального ряду визначені на всій числовій осі за винятком точки , яка згідно з цим завідомо не належить області збіжності розглянутого ряду.

Якщо , , а тому при від’ємних

.

Знакопочережний ряд, що стоїть в правій частині останньої рівності є збіжним за теоремою Лейбніца.

Якщо , , а тому при додатних

.

Ряд, який знаходиться в правій частині є гармонічним і тому є розбіжним. Отже, областю збіжності розглядуваного ряду є інтервал .