7.11. Примеры исследования функций многих переменных

1. Найти полный дифференциал функции в точке М(1;2).

Найдем частные производные функции :

Вычислим значения производных в точке М(1;2):

; .

Тогда полный дифференциал функции в точке М(1;2) будет иметь вид:

.

2. Найти смешанную частную производную второго порядка функции .

,

.

3. Найти производную функции в точке по направлению l, составляющему угол 30 градусов с направлением оси OX.

Определим направляющие косинусы оси l:

, .

Вычислим частные производные функции :

, .

Их значения в точке соответственно равны:

, .

Найдем производную функции по направлению l в точке :

.

4. Найти производную функции в точке по направлению l, заданному вектором .

Найдем направляющий единичный вектор оси l:

.

Так как длина вектора равна:

,

тогда

.

Вычислим частные производные функции :

, , .

Их значения в точке соответственно равны:

, , .

Таким образом: .

Тогда производная функции по направлению l в точке равна:

.

5. Найти локальный экстремум функции .

Находим критические точки:

Решая систему двух уравнений, получаем .

Следовательно, имеются две критические точки: .

Исследуем эти точки на экстремум. Для этого найдем вторые частные производные:

, , .

Исследуем точку :

…………………..

5. Найти точки условного экстремума функции z = x² − y²

при условии x² + y² = 1.

Строим функцию Лагранжа L(x, y, λ) = x² − y² + λ(x² + y² − 1).

Находим стационарные точки функции L(x, y, λ) . Для этого находим ее частные производные по всем аргументам x, y, λ и приравниваем их нулю. Получаем систему уравнений

L'_x = 2x + 2λx = 0

L'_y = − 2y + 2λy = 0

L'_λ = x² + y² − 1

Тогда

x(1 + λ) = 0

y(λ − 1) = 0

x² + y² = 1

Решая систему уравнений, находим

λ = − 1  y = 0, x = ± 1,

λ = 1  x = 0, y = ± 1,

Таким образом, функция f(x, y) = x² − y² имеет четыре стационарные точки при x² + y² = 1 :

M_1,2( ±1, 0),         M_3,4(0, ±1).

Точки M_1,2( ±1, 0) являются точками условного максимума, а точки M_3,4(0, ±1) — точками условного минимума.

17