7.3. Частные производные и дифференциалы функции

Рассмотрим функцию . Придадим переменной приращение , а переменной — приращение . Тогда функция примет новое значение . Величина называется полным приращением функции в точке .

Если придать приращение только переменной или только переменной , то получим частные приращения функции:

,

.

Определение. Если существует конечный предел

то он называется частной производной по переменной (по переменной ).

Частную производную обозначают или ( или ).

Замечание. Поскольку частная производная функции многих переменных является обычной производной функции одной переменной, то она обладает всеми свойствами производных, которые были сформулированы ранее.

Пример. Найти частные производные функции . При нахождении частной производной по считаем постоянным: . Аналогично при нахождении частной производной по : .

Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих переменных, то есть

или .

Определение. Произведение частной производной на произвольное приращение аргумента называется частным дифференциалом по функции и обозначается как

.

Аналогично определяется частный дифференциал по :

.

Таким образом, полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов

.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке может быть представлено в следующем виде:

или

где — бесконечно малые функции при .

Отсюда следует, что полный дифференциал функции нескольких переменных, так же как и в случае функции одной переменной, представляет собой главную линейную относительно и часть полного приращения функции в точке :

.

Для функции произвольного числа переменных полный дифференциал имеет вид:

.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по обеим независимым переменным:

, .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Пусть функция определена в -окрестности точки . Если при этом существуют частные производные и для любого , причем и непрерывны в точке , тогда функция дифференцируема в точке .

Пример. Найти полный дифференциал функции в точке при . Найдём частные дифференциалы: Следовательно, . Тогда:

7.4 Частные производные и дифференциалы высших порядков

Если функция имеет частную производную по одной из переменных, то эта производная, являясь функцией от , может в свою очередь, иметь частные производные по той же или по другой переменной. Для исходной функции эти производные называются частными производными второго порядка и обозначаются как

или , или , или .

Аналогично определяются частные производные более высокого порядка. Частные производные, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции . Сначала находим частные производные первого порядка. Следует обратить внимание на то, что при фиксированном y функция представляет собой произведение двух функций, зависящих от x, а при фиксированном x это константа, умноженная на функцию от y: . Теперь вычислим производные второго порядка: В качестве проверки можно найти вторую смешанную производную и убедиться, что результаты совпадают:

Теорема. Если в некоторой окрестности точки у функции существуют производные , при этом смешанные производные и непрерывны в точке , то .

То есть частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.

Аналогично определяются дифференциалы высших порядков:

…………………