ЧЕРКАСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ БОГДАНА ХМЕЛЬНИЦЬКОГО

КАФЕДРА АВТОМАТИЗАЦІЇ ТА КОМП’ЮТЕРНО-ІНТЕГРОВАНИХ

ТЕХНОЛОГІЙ

КУРСОВА РОБОТА

З дисципліни «Числові методи та моделювання на ЕОМ»

на тему:Дослідження системи Чуа

Студента____курсу____ групи

напряму підготовки 6.050202

спеціальності___________________

_______________________________

^{(прізвище та ініціали)}

Керівник________________________

^{(посада вчене звання науковий ступінь прізвище та ініціали)}

Національна шкала_______________

Кількість балів: ___ Оцінка: ECTS__

Члени комісії _____ ___________

^{(Підпис) (прізвище та ініціали)}

_____ ___________

^{(Підпис) (прізвище та ініціали)}

_____ ___________

^{(Підпис) (прізвище та ініціали)}

м. Черкаси – 2013 рік

Черкаський національний університет

імені Богдана Хмельницького

“Затверджую”

Зав. кафедрою автоматизації

комп’ютерно-інтегрованих

технологій та виробництва

______________________________

“____”__________200__р.

З А В Д А Н Н Я

на виконання курсової роботи з навчальної дисципліни

„Числові методи та моделювання на ЕОМ”

студенту Щербині Миколі Олександровичу

Науковий керівник – Л.І. Гладка,

кандидат фізико-математичних наук, доцент.

Тема курсової роботи: “ Інтеграли зі змінними границями“.

З М I С Т

Вступ

Розділ 1. Поняття атракора

Розділ 2. Метод Ейлера, Система Чуа

Розділ 3. Реалізація

Висновки

Термін подання виконаної роботи: __________20__ року

Науковий керівник курсової роботи __________доц. Л.І. Гладка

Студент групи ___________________Шост Я.О.

ЗМІСТ

ВСТУП

На сьогоднішній день диференціальні рівняння описують багато складних фізичних та хімічних процесів, система Чуа, яка описується в даній роботі широко використовується в електротехніці.

Об’єкт дослідження курсового проекту – метод ейлера для розв’язування системи лінійних диференціальних рівнянь.

Предметом дослідження є система Чуа як предмет дослідження системи лінійних диференціальних рівнянь.

Метод дослідження – метод Ейлера

Метою даної роботи є розробка програмного продукту для розв’язування системи лінійних диференціальних рівнянь методом ейлера, відображення та дослідження поведінки системи Чуа.

Розділ 1 Метод розв’язування систем диференціальних рівнянь що породжують атрактори

1.1. Теорія хаосу

Теорія хаосу - математичний апарат, що описує поведінку деяких нелінійних динамічних систем, схильних при певних умовах явищу, відомому як хаос. Поведінка такої системи здається випадковим, навіть якщо модель, що описує систему, є детермінованою.

Прикладами подібних систем є атмосфера, турбулентні потоки, біологічні популяції, суспільство як система комунікацій та його підсистеми: економічні, політичні та інші соціальні системи. Їх вивчення, поряд з аналітичним дослідженням наявних рекурентних співвідношень, зазвичай супроводжується математичним моделюванням.

Теорія хаосу - область досліджень, що зв'язує математику, фізику і філософію.

1.2. Основні відомості

Теорія хаосу говорить, що складні системи надзвичайно залежні від початкових умов і невеликі зміни в навколишньому середовищі ведуть до непередбачуваних наслідків.

Математичні системи з хаотичним поведінкою є детермінованими, тобто підпорядковуються деякому суворому закону і, в якомусь сенсі, є впорядкованими. Таке використання слова "хаос" відрізняється від його звичайного значення (див. хаос в міфології). Існує також така галузь фізики, як теорія квантового хаосу, що вивчає недетерміновані системи, що підкоряються законам квантової механіки.

Піонерами теорії вважаються французький фізик і філософ Анрі Пуанкаре (довів теорему про повернення), радянські математики А. Н. Колмогоров і В. І. Арнольд і німецький математик Ю. К. Мозер, які побудували теорію хаосу, звану КАМ ( теорія Колмогорова - Арнольда - Мозера). Теорія вводить поняття аттракторов (у тому числі, дивних атракторів як притягують Канторової структур), стійких орбіт системи (т. зв. КАМ-торів).

1.3. Чутливість до початкових умов

Чутливість до початкових умов в такій системі означає, що всі точки, спочатку близько наближені між собою, в майбутньому мають значно різні траєкторії. Таким чином, довільно невелика зміна поточної траєкторії може призвести до значної зміни у її майбутньому поведінці. Доведено, що останні дві властивості фактично мають на увазі чутливість до первинних умов (альтернативне, більш слабке визначення хаосу використовує тільки перші дві властивості з вищезазначеного списку).

Чутливість до початкових умов більш відома як " Ефект метелика ". Термін виник у зв'язку зі статтею" Пророцтво: Помах крил метелика в Бразилії викличе торнадо в штаті Техас ", яку Едвард Лоренц в 1972 році вручив американської "Асоціації для просування науки" в Вашингтоні. Помах крил метелика символізує дрібні зміни в первісному стані системи, які викликають ланцюжок подій, які ведуть до великомасштабних змін. Якби метелик не плескала крилами, то траєкторія системи була б зовсім іншою, що в принципі доводить певну лінійність системи. Але дрібні зміни в первісному стані системи, можуть і не викликати ланцюжок подій.

У популярних роботах чутливість до первинних умов часто плутається з самим хаосом. Грань дуже тонка, оскільки залежить від вибору показників вимірювання та визначення відстаней в конкретній стадії системи. Наприклад, розглянемо просту динамічну систему, яка неодноразово подвоює первинні значення. Така система має вразливу залежність від початкових умов скрізь, тому що будь-які дві сусідні точки в початковій стадії згодом випадковим чином будуть на значній відстані один від одного. Однак її поведінка тривіально, оскільки всі крапки крім нуля мають тенденцію до нескінченності, і це не топологічний змішування. У визначенні хаосу увагу зазвичай обмежується тільки закритими системами, в яких розширення і чутливість до первинних умов об'єднуються зі змішуванням.

Навіть для закритих систем, чутливість до первинних умов не ідентична з хаосом в сенсі викладеному вище. Наприклад, розглянемо тор (геометрична фігура, поверхня обертання кола - має форму бублика), заданий парою кутів (x, y) зі значеннями від нуля до 2π. Відображення будь точки (x, y) визначається як (2x, y + a), де значення a/2π є ірраціональним. Подвоєну першу координати у відображенні вказує на чутливість до первинних умов. Однак, через ірраціонального зміни в другій координаті, немає ніяких періодичних орбіт - отже відображення не є хаотичним згідно з вищезазначеним визначенням.