III. Вывод формулы Байеса

Предположим, что имеется простой признак , встречающийся при диагнозе . Вероятность наличия у ОД диагноза и признака (совместного появления событий) определяется

, (4)

где - вероятность диагноза (априорная вероятность диагноза). Так, если предварительно обследовано объектов и у объектов имелся диагноз , то

; (5)

- вероятность появления признака у объектов с диагнозом (условная вероятность). Если среди объектов, имеющих диагноз , у проявился признак , то

; (6)

- вероятность появления признака во всех объектах. Пусть из общего числа объектов признак был обнаружен у объектов, тогда

; (7)

- вероятность диагноза у объекта с признаком (апостериорная вероятность диагноза).

Из (4) вытекает формула Байеса

(8)

IV. Обобщенная формула Байеса

Эта формула относится к случаю, когда диагностирование проводится по комплексу ДП , включающему признаки Каждый из признаков имеет разрядов . В результате обследования известна реализация признака и всего комплекса признаков . Индекс ^* означает конкретное значение (реализацию) признака.

Формула Байеса для комплекса ДП имеет вид

(9)

где

Формула (9) относится к любому из возможных состояний (диагнозов) системы. Предполагается, что система находится только в одном из указанных состояний, и потому сумма вероятностей всевозможных состояний ОД составляет 1

(10)

В практических задачах при большом числе ДП их считают независимыми друг от друга, вероятность появления комплекса признаков при наличии диагноза определяется как произведение вероятностей появления отдельных признаков

. (11)

Вероятность появления комплекса ДП определяется как сумма произведений вероятностей каждого из диагнозов и вероятностей появления каждого из ДП при наличии соответствующих диагнозов

. (12)

Подставляя в (9) формулу (12), обобщенная формула Байеса записывается в следующем виде

. (13)

Сумма вероятностей всевозможных состояний при появлении каждого из комплекса ДП равна 1

(14)

Другими словами один из диагнозов обязательно реализуется, а реализация одновременно двух диагнозов невозможна.

Следует обратить внимание на то, что знаменатель формулы Байеса для всех диагнозов одинаков.

V. Понятие диагностической матрицы

Для определения вероятности диагнозов по методу Байеса необходимо составить диагностическую матрицу (таблица 1), которая формируется на основе предварительного статистического материала. В этой таблице содержатся вероятности разрядов признаков при различных диагнозах.

Таблица 1 - Диагностическая матрица в методе Байеса

Если признаки двухразрядные (простые признаки «да-нет»), то в таблице достаточно указать вероятность появления признака . Вероятность отсутствия признака .

Более удобно использовать единообразную форму, полагая, для двухразрядного признака ; .

Отметим, что при появлении признака можно записать , где — число разрядов признака , то есть сумма вероятностей всех возможных реализаций признака равна единице.