2.Вычисление частотных характеристик
Рассчитаем функцию передачи по напряжению основываясь на правиле деления токов. Начертим эквивалентную схему:
Рис.2. Преобразованная схема
Для определения функции передачи (Н) надо найти отношение выходного напряжения к входному:
Н(jω)
;
Для данной цепи:
U1=I1*Zобщ ,
U2=I2*ZR2 ,
ZL1=jωL1 ,
ZC1=1/jωC1 ,
ZR1=R1 ,
ZR2=R2 ,
После подстановки получаем:
Н(jω)=
;
Основываясь на законах Ома, найдём Zобщ :
1/ZRLR=1/ZR1+1/(ZR2+ZC1);
Zобщ=ZL1+ZRLR,
Z4=
,
Zобщ=
ZL1+
.
Так как ветви содержащие R1 и C1R2 параллельны, то напряжения на них равны UC1+UR2=UR1 ,переходя к токам получим:
I1=I2+I3,
I2(ZC1+ZR2)=I3ZR1,
I3=
,
Получаем:
I1=
I2(1+
).
Подставляя в функцию передачи получим:
Н(jω)=
=
=
=
,
Н(jω)=
.
Н(jω) - функция передачи электрической цепи по напряжению.
Чтобы получить выражение для амплитудно-частотной характеристики цепи необходимо посчитать модуль функции передачи:
Н(jω)=
,
=
=|
,
=
=
,
Н(jω)=
.
Для получения фазо-частотной характеристике перейдем к экспоненциальной форме записи функции передачи. По определению ФЧХ представляет собой частотную зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами.
j
=
,
=
=
*
,
arg[H(jω)]=
–
.
Оценим частоту максимума АЧХ Fmax по минимуму знаменателя:
Н(jω)=
Знаменатель
будет минимален при условий, что
,
т.о.
=
,
окончательно получаем:
=
,
Fmax=
,
H(Fmax)=
=
=0.058823.
3.Моделирование в среде Micro-Cap 8
R1=R2=500 Ом,
L1=2*10-3 Гн,
C1=0.5*10-9 Ф,
Тогда:
=7.07*105,
Fmax=112.596*103Гц,
Амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики получим в диапазоне 0÷500K
Рис.3. АЧХ (верхний график) и ФЧХ (нижний график)
Fmax(практическая)= 112.596*103
Определим частоты F1 и F2 ,на которых АЧХ падает до уровня 0,707 от максимума. При резонансной частоте АЧХ составляет 0.058823. Тогда АЧХ на уровне 0.707 от максимума будет равняться:
0.058823*0.707=0,041588
F1=34.016*103 Гц,
F2=372.326*103 Гц,
Рис.4.
АЧХ с частотами F1
и
F2
4.Сравнение результатов
Вычислим значения АЧХ для частот F1 ,F2 ,Fmax и сравним результаты ручного и компьютерных расчетов.
|H(jωрез)|=
=
*112.596*103*0.5*10-9*250000/(
*112.596*103*2*10-3+
+ *112.596*103*0.5*10-9*250000) =0.058823
|H(F1)|=
=
=
= 0.041574
|H(F2)|=
=
=
=0.041613
Получилось, что Fmax= Fmax(практическая)= 112.596*103
Из компьютерного расчета получены следующие результаты:
H(F1-практ)=H(F2-практ)= 0,041588
Оценим погрешность:
δ(F1)=
*100%=0.033%
δ(F2)=
*100%=0.060%
Вывод
Сравнивая результаты компьютерного и ручного расчетов мы убедились что отклонения результатов очень малы и составляют доли процента, а это значит, что в результате компьютерного моделирования мы получили результаты с большой точностью. Учитывая то, что процесс моделирования производится за очень короткий промежуток времени, то мы получаем выигрыш во времени (по сравнению с ручным расчетом) не теряя при этом в точности.