3. Инвариантные свойства проецирования.

Геометрические фигуры в общем случае проецируются на плоскость проекций с искажением. Проекции не сохраняют линейные и угловые величины оригинала. Характер искажений зависит от положения геометрической фигуры в пространстве, от аппарата проецирования и от положения плоскости проекций.

Однако некоторые геометрические свойства фигур остаются неизменными в процессе проецирования. Такие свойства геометрических фигур называются независимыми или инвариантными для данного аппарата проецирования.

Рассмотрим основные инвариантные свойства параллельного проецирования.

1. Проекция точки есть точка

Это очевидно из самого определения проекции как точка пересечения проецирующей прямой с плоскостью.

2 . Проекция прямой есть прямая (рис. 1.6)

Рис. 1.6. Инвариантные свойства 2, 3, 4

Все проецирующие прямые, проходящие через точки прямой а параллельно направлению проецирования S, образуют проецирующую, или лучевую, плоскость .

Проекция прямой а на плоскость ₁ определяется как линия пересечения этой лучевой плоскости  с плоскостью ₁, т. е. прямая.

3. Если точка К принадлежит прямой а, то и проекция этой точки принадлежит проекции прямой (рис. 1.6)

Это свойство следует непосредственно из определения проекции геометрической фигуры как множества проекций всех точек.

Если точка К принадлежит прямой а и плоскости , то и проецирующий луч l_К принадлежит плоскости . Следовательно, этот луч пересечет плоскость ₁ в линии пересечения плоскостей  и ₁, т. е. в точке К₁, принадлежащей проекции прямой а₁.

4. Если точка К делит отрезок АD в отношении m : n то и проекция этой точки делит в таком же отношении проекцию этого отрезка (рис. 1.6):

Фигура ADD₁A₁ – трапеция. Прямая КК₁ параллельна основаниям трапеции АА₁ и DD₁, следовательно делит ее стороны АD и А1D1 на пропорциональные части.

5 . Проекция точки пересечения прямых есть точка пересечения проекций этих прямых (рис. 1.7)

Рис. 1.7. Пример инвариантного свойства 5

Д ействительно, точка К принадлежит одновременно прямым АВ и CD. По третьему инвариантному свойству проекция этой точки К1 должна принадлежать проекциям этих прямых, т. е. должна являться точкой пересечения этих проекций.

6. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 1.8)

Лучевые плоскости  и , проходят через параллельные прямые АВ и CD. Они параллельны, т.к. две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (АВ CD и АА₁ СС₁). Но две параллельные плоскости пересекаются с третьей по параллельным прямым, следовательно, А₁В₁ С₁D₁.

7. Плоский многоугольник в общем случае проецируется в многоугольник с тем же числом вершин.

И сключение составляет многоугольник (плоская ломаная или кривая линия) расположенный в проецирующей (лучевой) плоскости. Такой многоугольник проецируется в прямую линию (рис. 9).

Рис. 1.9. Примеры инвариантных свойств 7, 8

8. Прямая, параллельная направлению проецирования, проецируется в точку (рис. 1.9)

9 . Проекция плоской фигуры, параллельной плоскости проекций, конгруэнтна этой фигуре (рис. 1.10).

Следствия этого инвариантного свойства следующие:

Проекция отрезка прямой, параллельной плоскости проекций,

конгруэнтна и параллельна самому отрезку (рис. 1.10):

Проекция угла, стороны которого параллельны плоскости проекций,

конгруэнтна этому углу (рис. 1.10)

4. Точка. Проекция точки на плоскость проекции.

Точка – это геометрический образ, не имеющий измерений. Проекцией точки является основание перпендикуляра проецирующего луча, опущенного на плоскость проекций из заданной пространственной точки. Точка может быть задана на чертеже своими координатами, например: А (20;30;15) или проекциями.

Х - указывает на расстояние до профильной плоскости проекций, 

Y – до фронтальной, Z– до горизонтальной.

Линия связи – это прямая, соединяющая две проекции точки.

П усть в трехмерном пространстве нам задана точка М₁ и плоскость . Проведем через точку М₁ прямую a, перпендикулярную к плоскости . Если точка М₁ не лежит в плоскости , то обозначим точку пересечения прямой a и плоскости как H₁. Таким образом, точка H₁ по построению является основанием перпендикуляра, опущенного из точки M₁ на плоскость .

Проекция точки М₁ на плоскость - это сама точка М₁, если , или точка H₁, если .

Проекция точки на плоскость – это либо сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную плоскость.

На приведенном чертеже точка H₁ есть проекция точки М₁ на плоскость ; точка М₂ лежит в плоскости , поэтому М₂ – проекция самой точки М₂ на плоскость .