Векторные пространства. Системы координат. Векторы и матрицы
Рассмотрим эти вопросы на примере 3-х мерного векторного пространства. Само векторное пространство рисовать не будем – это трудно. Давайте в этом 3-х мерном векторном пространстве возьмем различные системы координат. 2 системы, состоящие из ортов и 2 системы аффинные.
Рис.4
Давайте
введем следующее понятие: каждая из
этих троек векторов образует координатные
реперы, которые показывают направления
осей систем координат и цену деления
шкал или шагов. Возьмем произвольно
вектор
.
Давайте для вектора дадим следующие определения.
Вектор есть направленный отрезок. Это пока еще говорит не о многом.
Вектор есть комбинация других векторов.
Вектор есть произведение двух матриц: (самое интересное)
Давайте начнем со второго определения, только запишем его в математических символах.
Это значит, что для того, чтобы получить вектор R надо взять x раз вектор i, y раз вектор j и z раз вектор k и просуммировать их.
Теперь
давайте запишем третье определение.
Тут можно дать пояснение, что
есть векторная матрица, состоящая из
ортов i
j
k,
а R
это матрица, состоящая из X
Y
Z.
Примечание: R – это не вектор, а матрица. Запишем выражения для вектора R в различных системах координат:
Скажите, сколько систем координат в фотограмметрии? Система координат объекта, традиционного снимка, традиционной модели, проективного снимка, проективной модели. Перепишем выражения иначе:
|
(1) |
Здесь
с различными индексами – это векторные
матрицы. Если равны левые части, то
должны быть равны и правые. Приравняем
первое и второе выражение в (1):
.
(2)
Умножим (2) слева на :
.
(3)
Так,
как
есть единичная матрица, а
- матрица направляющих косинусов A,
то приходим к следующему:
.
Это есть ни что иное, как вывод матрицы направляющих косинусов, который отсутствует в курсе традиционной фотограмметрии.
Умножим
(2) слева на
.
(4)
Здесь
есть единичная матрица а
- обратная к матрице направляющих
косинусов A.
То есть A-1.
Обратите внимание, что матрицы A
и A-1
есть транспонированные друг к другу.
Это положение тоже не доказывалось в
традиционной фотограмметрии.
Теперь приравняем другие правые части.
(5)
Умножим (5) слева на .
(6)
Аналогичные матрицы существуют в пространствах других размерностей.
Аффинная система координат
Аффинные системы координат могут существовать в пространстве любой размерности. Такая система представлена на рис.5, где точка О - координатный репер; М - текущая точка. Система координат косоугольная, ненормированная.
Рис.5
Проводя плоскость параллельно плоскости zy через точку М, получим составляющую Мx. Аналогично проводя плоскость параллельно плоскости zх через точку М, получим составляющую Мy. Проведя плоскость параллельно плоскости xy через точку М, получим составляющую Мz.
Координаты
точки М можно выразить как (1), где xe,ye,ze
-
контрвариантные координаты,
- аффинный координатный репер:
. (1)
Каждому аффинному координатному реперу соответствует взаимный координатный репер, который определяется как:
. (2)
Тогда
,
а все остальные скалярные произведения
будут равны нулю. В этом случае координаты
точки М будут определяться как:
. (3)
Эти
координаты называются ковариантными
координатами. Здесь
-взаимный
координатный репер.
Вектор
,
определяющий положение точки М
относительно начала системы координат,
можно представить комбинацией других
векторов, либо в виде произведения двух
матриц:
,
где:
Вектор
можно представить также и в виде:
,
где:
Тогда будут иметь место выражения:
. (4)
,
где N - скаляр (число).
В этих выражениях матрица Аафф имеет следующий общий вид:
. (5)
Она похожа на матрицу направляющих косинусов, но матрица направляющих косинусов только производит повороты на углы w,a,À, а матрица аффинных преобразований, кроме того, масштабирует по осям xyz и устраняет перекосы между осями.
Произведения координатных реперов представляют собой либо единичную матрицу Е, либо матрицу Аафф аффинных преобразований, либо скаляр.
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (Теория стереокомпаратора, сканера, принтера, внутреннего ориентирования снимков, определение линейных деформаций плоских материалов, включая матрицы ПЗС)
Рис.6
-
система координат прибора
-
эталонная система координат (контрольная
сетка)
(1)
;
;
;
;
;
;
(2)
;
(3)
Умножим (3) слева на .
;
(4)
;
;
.
(5)
Запишем (4) в координатной форме с учетом (5):
.
(6)
(6’)
Уравнения
(6’) описывают теорию стереокомпараторов.
Здесь имеем 6 параметров:
,
которые являются элементами внутреннего
ориентирования.
Под инструментальной ошибкой прибора понимается разность между двумя согласованными определениями:
измерения выполняются с помощью прибора;
используется строгое аналитическое решение в соответствии с теорией прибора.
Под согласованностью понимается использование в обоих случаях одних исходных данных и осуществляется в фотограмметрии с помощью эталонных контрольных сеток.
Для определения 6 параметров (элементов ориентирования) необходимо поступить следующим образом.
Запишем (6) в векторной форме:
;
.
(7)
Будем использовать (7) для составления уравнений поправок.
(7’)
(8)
И, собственно говоря, уравнения поправок:
(9)
В уравнениях (9) 6 неизвестных величины. Следовательно, для определения элементов внутреннего ориентирования необходимо иметь минимум 3 опорные точки (координатные метки). При этом не будет производиться уравнивание и оценка точности.
Для надежного определения инструментальных ошибок необходимо измерить не менее 25 точек. Каждая точка позволяет составить два уравнения: по x и по y.
Всю систему уравнений поправок (50 шт.) компактно можно представить в виде матричного уравнения:
,
(10)
где - матрица искомых параметров ЭВО, В – матрица коэффициентов уравнений поправок, L – матрица свободных членов, V – матрица поправок.
;
;
;
;
Для выяснения сущности способа наименьших
квадратов переведем уравнение (10) в
векторную форму, умножив слева (10) на
векторную матрицу
,
где n – число уравнений.
Получим:
или
.
Если вектора представлены, то можно
получить графику, а вектор
найти минимальный по модулю, при этом
будет тоже минимальным.
Рис.7
(из ортогональности векторов)
(11)
не
может быть равно нулю.
Перепишем (11) с учетом (10):
.
Решая это уравнение, получим:
- это вывод способа наименьших квадратов
при помощи формул проективной
фотограмметрии.
;
n – число уравнений, k
– число параметров.
- дисперсионно-ковариационная матрица.