На рис.10 показан еще один пример возможного выполнения съемки с помощью трехмерного сканера lms-z420.

Рис.10

На рис.11 показаны некоторые примеры наиболее распространенных наземных лазерных сканеров а в таблице 1 их характеристики.

Таблица 1

	Riegl			Leica (CIRAX)
	LMS-Z210i	LMS-Z360i	LMS-Z420i	HD2500	HD3000	HD4500
Измеряемые расстояния (m)	4 - 400	1 - 200	2 - 800
Поле зрения: горизонтальное вертикальное	360o 80o	360o 90o	360o 80o	40o 40o	360o 270o	360o 310o
Угловые интервалы	0.01o	0.01o	0.008o
Угловая точность	0.005o	0.002o	0.002o
Линейная точность (для рассстояния 50 m)	15 mm	6 mm	5 mm	6 mm	6 mm	6 mm
Скорость сканирования (точек в секунду)	12000	12000	12000			500000

Рис.11

Исходные положения проективной фотограмметрии

Будем пользоваться векторными пространствами различного числа измерений, начиная от 1-мерного до 4-х мерного и так далее до n-мерного. Предполагается, что векторное и матричное исчисление знакомо слушателям из курса высшей математики.

Дадим определения точки и прямой.

Известны ли вам определения точки и прямой? Вообще говоря, для точки и прямой, удовлетворяющее всех определение, не существует. Всегда есть изъяны. Например, Евклид называл точкой то, что не имеет частей. Нам это не подходит. А прямая – это геометрическое место точек, равноудаленных друг от друга. Довольно туманное определение. Нам это тоже на современном уровне не подходит. Многие говорили, что прямая – это луч света в однородной среде и это тоже не подходит так, как в однородной среде могут быть поля и так далее. Давайте мы дадим свои определения, которые нам подойдут.

Под точкой будем подразумевать элементарный объект векторного пространства, который характеризуется, в зависимости от размерности пространства, набором чисел (координатами) X,Y,Z, … и имеющий бесконечно малые размеры по сравнению с расстоянием до начала координат.

Поясняю: для нас звезда, имеющая колоссальные размеры, может быть принята за точку, если она удалена на расстояние, значительно превышающее ее размеры.

Прямая однозначно определяется 2 точками. Запишите, так, как на зачете я с вас спрошу, а зачет у нас с оценкой. Что имеется в виду под однозначностью определения прямой двумя точками? Представим прямую и несколько точек на ней.

Рис.1

Однозначность – это значит, что если прямая задана, например точками 1 и 2, то для любых других пар точек (например, 3 и 4) будет сохраняться уравнение прямой. То есть уравнение прямой по точкам 1 и 2 будет точно таким же, как и уравнение по точкам 3 и 4. Можно еще по другому – через коэффициенты.

X₁₂ / Z₁₂ = C₁,

Y₁₂ / Z₁₂ = C₂.

Коэффициенты C₁ и C₂ будут для любых пар точек одними и теми же.

Надо иметь в виду, что, в отличие от геометрии Евклида, параллельные прямые пересекаются в одной точке. Эта точка находится в бесконечности в исходном пространстве. В том, в котором мы находимся. А в проективно-преобразованном пространстве эта точка может изобразиться на конечном расстоянии.

Первая аксиома коллинеарности. Если точки принадлежали одной прямой, то после проективного преобразования они останутся точкам, принадлежащими одной прямой. Следствие: точка преобразуется в точку, прямая в прямую, две пересекающиеся прямые преобразуются в две пересекающиеся прямые а, следовательно, плоскость изображается плоскостью. Это особенность проективных преобразований.

Кривая второго порядка преобразуется в кривую второго порядка. Кривая третьего порядка преобразуется в кривую третьего порядка. Порядок сохраняется. Правда вы, наверное, знаете, что окружность может быть преобразована в эллипс, гиперболу, параболу. Это все элементы проективного преобразования.

Заметим, что много теорем в проективной геометрии как раз посвящены кривым 2-го порядка. И этому есть свое объяснение. А как вы думаете? Почему в математике так много внимания уделяется кривым 2-го порядка? Потому, что орбиты планет, если они не возмущены, то это кривые 2-го порядка. К нам иногда залетают и астероиды, кометы и т.д., а их орбиты – это кривые 2-го порядка. Астрономия требовала этого. И еще в проективной геометрии выводили массу аксиом и хотели найти новые законы. По-моему, они много законов нашли, но они нам не потребуются. Если кто-то хочет сотворить что-то новое с применением проективной геометрии, то он должен ее изучить, но это очень большой труд.

Вторая аксиома сложного отношения 4-х точек прямой.

Я обозначения, которые есть в проективной геометрии, преобразовал к форме, удобной для геодезистов и фотограмметристов. В проективной геометрии все изложение ведется в абстрактной форме и поэтому трудно воспринимается. Возьмем прямую линию и наметим на ней 4 точки.

Рис.2

Эти 4 точки образуют сложное отношение:

Сложное отношение сохраняется при проективных преобразованиях. Прямая линия – это 1-мерное пространство.

Запишем. Проективное преобразование 1-мерного в 1-мерное пространство сохраняет сложное отношение 4 точек, которое называется ангармоническим отношением. Существует обратное отношение и еще 2 (всего 6). Французский математик Шаль, тоже занимавшийся проективной геометрией, в своей книге, вышедшей в русском переводе еще до революции, насчитывающей 550 страниц и 200 чертежей, рассматривает только одни сложные отношения. Так что вы не возмущайтесь.

Этой аксиомой ликвидируется обычная метрика и вводится новая, называемая сложным отношением 4-х точек. Поясняю. В традиционной фотограмметрии есть понятия «угол» и «отрезок» здесь нет. Новая метрика очень абстрактная, но она приводит к колоссальным упрощениям.

Проективная фотограмметрия только начинает развиваться, многое там еще не выяснено, а надо все досконально выяснить. Имейте это в виду. Это, наверное, ваша задача. По традиционной фотограмметрии защищены сотни кандидатских и десятки докторских диссертаций, по проективной только две кандидатские. Смотрите, сколько еще там надо «ворошить». Кроме того, необходимо отметить, что очень разумно сочетание традиционной и проективной фотограмметрии. Это, оказывается, можно делать и получать колоссальный эффект.

Сложные отношения называются ангармоническими, а если сложное отношение будет равно –1, то его называют гармоническим.

Частный случай проективных преобразований называется аффинными преобразованиями. Аффинные преобразования обладают простым отношением трех точек.

Рис.3

Простое отношение является частным случаем проективных преобразований, правда, для одномерного пространства, оно полностью совпадает с проективным преобразованием. Для двумерного пространства оно тоже совпадает, а вот если дальше двумерного пространства пойдем, то там расхождения получаются.