13. Дыферэнцаванне функцый адной і некалькіх зменных. Геаметрычны і механічны сэнс вытворнай.
Імкненная
хуткасть:Няхай
ф. s=f(t)
выражае закон параллельнага руху пункта.
s-
адлегласть пункта да пачатковага з
улікам знака, момант часу t-
шлях які пройдзенны пунктам за прамежак
часу
.
Сярэдняя
хуткасть роўна стасунку
Сапраўднай (імгненнай) хуткасцю ў момант
часу t
натур. выз. як
Такім
чынам задача знаходжання імкненнай
хуткасті прыводзіть да паняцця вытворнаы.
Геаметрычны сэнс вытворнай
Няхай функцыя f непарыўная на мностве Х, а пункты х0 i х + x належаць мноству Х. Тады пункты М0(x0,f(x0)) i M(x0 + x, f(х0 + x)) належаць графіку функцыі f . Прамую М0М называюць сечнай графіка функцыі. Відавочна, што калі мы зафіксуем пункт М0 і будзем змяняць x, то сечная будзе як бы паварочвацца вакол пункта М0 і прыме становішча датычнай М0Т.
Абазначым
праз (x)
вугал нахілу сечнай М0М
да дадатнага напрамку восі Ох,
а праз 0
вугал нахілу датычнай М0Т
да гэтага напрамку. З М0АМ
знойдзем
(рыс.1).
Калі
x0,
то tg
Вядома, што tg0 = k дат. = f ' (x0).
Няхай ф. y=f(x) непарыўна на [a; b] , x –пункт на[a; b], x такі што (x+x) належыць [a; b] ; y=f(x+x)-f(x).
Аз: Ф. y=f(x) наз. Дыферэнцаванай у пункце x, які адпавядае прыросту аргумента x , можа быць прадстаўлена у выглядзе y=Аx+(x)x 1 .
Дзе А некаторы лік, які незалежыць ад x, а (x)- функцыя аргумента , x- бясконца малая пры x0.
У пункце x=0 ф. (x)- невызначына, у гэтым пункце яе можна вызначыць адвольным чынам. Далей зручна лічыць, як (0)=0, тады (x) будзе непарыуна у пункце x=0, роўнасць 1будзе мець месца і для x=0
Т: Для таго каб ф. y=f(x) была дэф. у пункце x неабходна і дастаткова, каб яна ў гэтым пункце мела канечную вытворную.
Неабходнасць:
няхай ф. y=f(x) дэф. У пункце x адсюль вынікае,
што прырост яе y
, які адпавядае x,
мае выгляд: y=Аx+(x)x
Няхай x0,
дзелім на x0
,
тады правая частка гэтай роўнасці мае
ліміт роўны А, тады
Д
астатковасць:
Няхай існуе канечная вытворная f’(x)
тады існуе канечны ліміт
1Абазначым
(x)=y/x-f’(x)2
Зіснавання ліміта 1
вынікае,
што ф. (x)0
з адносіны 2
помножым на x
: (x)x=y--f’(x)x,
y=(x)xf’(x)x,
пры А=f’(x).
Тым самым даказана, што з існавання
канечнай вытворнай f’(x)
вынікае дэферанцавальнасць 1,
лік А супадае з f’(x)
Аз: Дыф. функцыя y=f(x) у дадзеным фіксаваным пункце x, які адпавядае прыросту аргумента x, наз. лік які абаз. dx=f’(x)x, у выпадку калі f’(x)0 гэты лік у’яуляе сабой галоўную частку прыроста ф. y=f(x) лінейную адносна x.
Аз:Функцыя z=f(x, y) наз. дыф. у пункце (x0, y0), калі існуюць лікі А, В, тая што: z=Аx+Вy+(x,y)1 , дзе калі p 0 ; (x,y)=ε(x,y)p2, дзе limε(x,y)=0,дзе p0.
Аз: У выпадку дыф. функцыі у пункце (x0,y0), лікавая функцыя Аx+Вy адносна зменных x,y будзе называцца поуным дыф. функцыі f(x,y) у пункце (x0,y0) і абазн. dz=Аx+Вy, dz=Аdx+Вdy. З 2 =>lim(x,y)/p, дзе мм0.
Правіла вылічэння вытворнай.
1 Няхой функцыя y1=f1(x), y2=f2(x) маюць вытворную у пункце x0, тады іх сума y1+y2= f1(x)+f2(x) так сама мае вытворную, у гэтам пункце і y1’+y2’=( y1+y2)’
Доказ: y=y1+y2. f1(x0)=f1(x0+x)-f1(x)=y1; f2(x0)=f2(x0+x)-f2(x)=y2 тады y=f1(x0+x)-f1(x)+ (0+f2(x0+x)-f2(x)=y1+y2, тады y/x=y1/x+y2/x. Перойдзем да ліміту, калі x0, ліміт у правй частцы існуе па умове, тады існуе ліміт і ў правай частцы роўнасці: limx0y/x=y’=> y’=y’1+ y’2.
2 Няхой функцыяі y1=f1(x), y2=f2(x) маюць вытворную ў пункце x0, тады іх здабытак, y1 y2=f1(x)f2(x), так сама мае вытворную роўную (y1 y2)’= y’1 y2+ y1 y’2, і калі y20 ў пункце x0 дзель y1 /y2=f1(x)/f2(x) так сама мае вытворную у пункце x0 прычым (y1/y2)’=(y’1 y2-y1 y’2)/y22
Т: Няхай функцыя y=f(x) непарыўна і строга манатонна ў некаторым наваколлі пункта x0 , у гэтам пункце існуе вытворная f’(x0)0, тады для адваротнай функцыі x=f-1(y) у адпаведным пункце y0=f(x0) існуе вытворная і спраўдзіцца формула: (f-1(y0))’=1/f’(x0).
Т: Няхай функцыя u=(x) мае вытворную у пункце x0, u’=’(x) і yu=f(u) мае вытворную у пункце u0 y’u=f(u) мае вытворную у пункце u0 , y’u=f’(u0), тады складаная функцыя таксама мае вытворную у пункце x0 : y’=(f((x)))’=fu’((x0))’(x0).