8. Лагарыфмічная функцыя і яе асн. Уласцівасці. Раскл ў ступеневы шэраг.

(1) -лікавая паслядоунасць.

(2) - частковыя суммы

Пару, якая складзена з паслядоунасцей (1) и (2) (3) наз лікавым шэрагам.

Шэраг віду , дзе C_n, a - ступеневы шэраг.

Тэарэма: Калі на інтэрвале (a-R;a+R) функцыя f(x) раскладаецца у ступеневы шэраг, то гэта раскладанне адзінае і мае выгляд:

-шэраг Тэйлора

- шэраг Макларэна

Формула Тэйлора: , дзе - астача шэрагу.

- астача шэрага (1) пасля n-га складніка, ,

Разгледзім дзве формы астачы:

1) астача у форме Кашы: -лік, модуль якога <1.

2) астача у форме Лагранжа:

Калі функцыя y=a^x (0<a, a1) страга манатонна і непарыуна, тады згодна тэарэме аб адваротнай функцыі для гэтай фукцыі існуе і непарыўна адваротная функцыя

x=f ^­-1(y). гэта адваротная функцыя таксама манатонна і непарыўна.

Аз: y=f^-1(x)- адваротная да паказчыкавай функцыі у=а^х наз. лагарыфмічнай функцыяй пры аснове a.

Роўнасць x=f ^-1(y) азначае , што  ліку b>0, b належыць D_f^-1, функцыі f ^-1 ставіцца у адпаведнасць лік x₀Е_f^-1 такі, што a^x₀=b. Значэнне x₀ лагарыфмічнай функцыі якое адпавядае b роунае паказчыку ступені, у якую трэба узвесці лік a , каб атрымаць лік b. Такі паказчык наз. лагарыфмам b па аснове a.

Вызначым усе гэта формулай y=log_ax. Гэта функцыя валодае наступнамі уласцівасцямі:

1. D_y=(0;), Е_y=(-;+)

2. Функцыя нарастальная калі а>1, спадальная калі 0<a<1.

3. функцыя непарыуная у D_y

4. log_a1=0

5. Калі a>1:log_ax<0, калі x<1; log_ax>0, калі x>1

6. Калі 0<a<1:log_ax<0, калі x>1; log_ax>0, калі x<1

7. Калі a>1 lim_x+log_ax=+, lim_x0+0log_ax=-

8. Калі 0<a<1 lim_x+0log_ax=+, lim_x+log_ax=

Дыферынцавальнасць:

Доказ:

Раскладанне функцыі ln у шэраг

f(x)=ln(1+x): f(x)=1/(1+x), f’(0)=1, f(x)=(-1)1/(1+x)², f’’(0)=-1, f(x)=2!/(1+x)³, f’’’(0)=2!, ..., f⁽ⁿ⁾(x)=(-1)^n-1(n-1)!/(1+x)ⁿ, f⁽ⁿ⁾(0)=(-1)^n-1(n-1)!

Ln(1+x)=x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 +...+ (-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n+…= +R_n.

Ln(1-x)= -x - x²/2 - x³/3 - x⁴/4-...- xⁿ/n-…=

Шэраг збягаецца на (-1;1), і калі x=1 (ln0=1) шэраг збягаецца, калі x=-1 (ln1=0) шэраг гарманічны, які разбягаецца, адсюль вынікае , што абсяг збежнасці шэрага (-1; 1].

Даследуем шэраг з дапамогай астачы, паказвая што яна →0. Калі x[0;1] будзем выкарыстоўваць астачу шэрага ў форме Лагранжа: R_n(a)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!

R_n(a,x)=(-1)ⁿn!(x-a)ⁿ⁺¹/[(1+ c)ⁿ⁺¹(n+1)!].

Паложым a=0,R_n(0,x)=xⁿ⁺¹/[(1+c)ⁿ⁺¹n+1)!]≤1/n+1, адсюль выникае, што для x([0;1],Rn→0 на дадзеным адрэзку шэраг збягаецца да функцыі f(x).

Калі x((-1;0) астачу ацэньваем у форме Кашы. Маем (Rn(x)(=(-1)ⁿ xⁿ⁺¹(1-θ)ⁿ/(1+ θx)ⁿ⁺¹, 0< θ<1, так што

R_n(x)≤{xⁿ⁺¹/1-x}*(1-θ)/(1+ θx)ⁿ ;{1-x<1+1+ θx , x>θx , так як x<θx }, так як x>-1 будзе 1+ θx>1- θ, тады паслядоўнасць множ. меньш за 1, => толькі x<1, заведама R_n(x)→0

Астача на интэрвале (-1;1) →0 кали n→ , г.зн. што формулы раскладання можна выкарыстовываць для набліжанага вылічэння значэнняу функцыи Ln(1+x).

9. Паказнікавыя функцыі і іх асн. Уласцівасці. Расклад у ступеневы шэраг.

Аз: Паказнікавая функцыя з асновай а>0 наз. функцыя, якая задаецца формулай y=a^x, а^x мае месца для адвольных хR, інакш кажучы паказнікавая функцыя адзначына на мноствеR

Уласцивасці:

1)Т: (складання)хR , а>0,а1,а^х1а^x2=а^х1+x2

доказ: няхай (r_n),(g_n) адвольныя паслядоўнасці рацыянальных лікаў, дзе r_nx₁, g_nx₂ , r_n+g_nx₁+x_2, калі n. Будзем разглядаць а_rn*а^gn=а^rn+gn (уласцівасць рацыянальнай ступені). Перойдзем да ліміту, калі n => a^x1a^x2=a^x1+x2

2) a^x>1, (a>1, x>0)

доказ: няхай (g_n) адвольная паслядоўнасць рацыянальных лікаў нарастальная, якая збягаецца да x, прычым для усіх n g_n(0;x), так як 0<g₁<g₂<…<g_n<… nN\{1}. Тады згодна ўласцівасці манатоннасці ступені з рац. лікам : a<a^g1<a^gn, 1<a^g1<a^gn , перойдзем да ліміту, калі g_nx, 1<ag1<ax.

Уласівасці манатоннасці пакз. Ф.

1)калі а) a>1 нарастальная

b) 0<a<1, a^x спадальная

Доказ: а) a>1, x₁,x₂ R, x ₁<x₂=>a^x1<a^x2

a^x2-a^x1>0

a^x2-a^x1=a^x1+(x2-x1)-a^x1=a^x1 a^x2-x1-a^x1=a^x1(a^x2-x1-1)>0, так як a^x1>0, a^x2-x1-1>0, гэта азначае, што наша функцыя нарастальная, калі a>1.

b) 0<a<1, b=1/a, x₁, x₂R, x₁>x₂, b>1

a^x2-a^x1=a^x1(a^x2-x1-1)=1/d^x1*((1/b^x2-x1)-1)<0

{другі доказ: (1/a)^x2-(1/a)^x1>0=>1/a^x2-1/a^x1>0, тады 1/a^x2>1/a^x1} a^x1>a^x2

Т: Калі a>0, a1 тады існуюць ліміты: lima^x=+, калі x+;lima^x=0, калі x-. Кали a>1 lima^x=0, калі x+ lima^x=+, калі x-.

Доказ: 1) няхай a>0, a^x+, калі x+ тады можна лічыць, што x>1 г.з. [x]=n, nN прычым n.

Акрамя таго [x]=n<=x , згодна ўласцівасці паказальнай функцыі з няроўнасці x>=n тады няроўнасць a^x>=aⁿ так як a>1, тады яго можна запісаць у выглядзе a^x>=aⁿ=(1-h)ⁿ дзе h>0, тады згодна няроўнасці Бярнулі, гэта (1+h)ⁿ>=1+nh, тады калі x+, то n і a^x, г.з. lima^x=+ калі x

2) Няхай x- , паложым x=-t тады, калі x-,

-t+,

lima^t=+ , тады lim_x-a^x=lim_t+ a^-t=1/lim_t+a^t=0

Ул: Абсяг значэння функцыі y=a^x, a>0, a1, E_y=(0;) так як y=a^x, a1–манатонна непарыўна (-;+)таму згодна тэарэме Бальцана-Кашы D_f яе вызначэння так сама з'яўляецца прамежкам які супадае з інт.(0;). Так як функцыя y=a^x>0 і lim_{x+,-}a^x=0 (x+, x-); lim_{x+,-}a^x=+(x-, x+).

Характэрныя пункты гэтай функцыі: 0 і 1

Аз: Непарыўныя на прамежку Х ф. f(x) наз вупуклай уверх (уніз) калі x₁, x₂ на гэтым прамежку мае месца : f((x₁+x₂)/2)>=[f(x₁)+f(x₂)]/2,

{ f((x₁+x₂)/2)>=[f(x₁)+f(x₂)]/2}

Раскладанне функцыі y=е^x у ступеневы шэраг Маклорэна.

(1) -ликавая паслядоунасць.

(2) - частковыя суммы

Пару, якая складзена з паслядоунасцей (1) и (2) наз ликавым шэрагам.

Шэраг виду , дзе Cn, a - ступеневы шэраг.

Тэарэма: Кали на интэрвале (a-R;a+R) функцыя f(x) раскладаецца у ступеневы шэраг, то гэта раскладанне адзинае и мае выгляд:

-шэраг Тэйлора

- шэраг Макларэна

Формула Тэйлора: , дзе - астача шэрагу.

- астача шэрага (1) пасля n-га складника, ,

Иснуюць дзве формы астачы:

1) астача у форме Кашы: -лик, модуль якога <1.

2) астача у форме Лагранжа:

Маем f(x)=е^x, f'(x)=е^x, f''(x)=е^x,...,f^(k)(x)=е^x і таму f(0)=f'(0)=...=f^(k)(0)=1, тады f(x)=1+x/1!+x²/2!+...+xⁿ/n!+xⁿ⁺¹е^θx/(n+1)!, (0<θ<1)

шэраг ^_n=0xⁿ/n! абсалютна збежны для  канечных знач. x тады маем, для x, xⁿ⁺¹/(n+1)!0, калі n.

Але е^θx е^x (калі x>0), і е^θx1(x<0), а таму

xⁿ⁺¹е^θx/(n+1)!0, для x, і мы маем е^x=1+x/1!+x²/2!+...+xⁿ/n!+...(для x).

10. . Экстрэмум функцыі. Умовы экстрэмума. Знаходжанне найбольшага и найменьшага значэнняу функцыі, дыферэнцыяльнай на адрэзку.

Азн. Няхай функцыя f азначана на інтэрвале (a, b). Пункт называецца пунктам лакальнага максімума (мінімума) функцыі f, калі існуе такое >0, існуе наваколле такое, што , якія задавальняюць умове | |< , выконваецца няройнасць .

Азн. Няхай функцыя f азначана на інтэрвале (a, b). Пункт называецца пунктам строгага лакальнага максімума (мінімума) функцыі f, калі існуе наваколле такое, што выконваецца няройнасць .

Пункты лакальнага max (min) функцыі f называюцца пунктамі лакальнага экстрэмуму, а значэнні функцыі у гэтых пунктах – адпаведна лакальнымі max (min).

х1(х2) – пункт строгага лакальнага max (min), а пункты інтэрвала (c,b) – пункты лакальнага max; f(x1), f(x2), f(x3) - лакальные экстремумы.

Тэарэма 1(Неабх. умова экстрэмума): няхай x0 пункт экстрэмума функцыі f, вызначанай у некаторым наваколлі U(x0). Тады або вытворная не існуе, або =0.

Доказ: Сапраўды, калі x0 пункт экстрэмума для функцыі f , то знойдзецца такое наваколле , што значэнне f ў пункце x0 будзе найбольшым або найменшым у гэтым наваколлі. Таму згодна Т.Ферма, калі ў x0 існуе вытворная, то яна =0.

Заувага: Роунасць =0 з’яуляецца неабходнай умовай існавання экстрэмуму, але не дастатковай. (прыклад: , але х=0 не з’яуляецца пунктам экстрэмуму, паколькі і таму не мае экстрэмумау).

Заувага: Калі f недыферэнцавальная у пункце х0, то х0 можа быць, а можа і не быць пунктам экстрэмуму. (прыклад: пункт х=0 – пункт min, але у гэтым пункце вытворная не існуе).

Азн.: Пункты, у якіх вытворная функцыі роцна 0, называюцца стацыянарнымі пунктамі.

Азн.: Пункты, у якіх вытворная функцыі роцна 0 або ∞, або наогул не існуе, будзем называць крытычнымі пунктамі 1 роду.

Тэарэма 2(Даст. умова экстрэмума): Няхай f(x) дыферэнц. усюды ў некаторым наваколі U(x0) і няхай пункт x0 стацыянарны для f(x), тады калі ў дадзенным наваколлі вытворная f '(x) дадатна (адмоўна) злева ад пункта x0 і адмоўна (дадатна) зправа ад яго, то f(x) мае ў пункце x0 лакальны максімум (мінімум).

Доказ: няхай f '(x)>0, калі x >x0, дзе x некаторы пункт з наваколля U(x0), т.я. f (x)дыферэнцавальна ўсюды на дадзеным наваколлі, то на адрэзку з межамі ў пунктах x і x0 выконваюцца ўмовы Т.Лагранжа. Тады f =f(x)– f(x0)–f '( )(x–x0)(*) (x;x0). Калі x<x0, тады (x-x0)<0, і f'( )>0, т.я. x< <x0 і f<0, калі x>x0, тады (x-x0)>0, а f'( )<0, т.я. x0< <x і f <0, т.ч. f <0 заўсёды, г.зн, што пункт x0 пункт лакальнага максімума. Аналагічна для мінімума.

Тэарэма 2(Даст. умова экстр. у тэрм. 2 вытв.): Няхай функцыя f(x) мае ў дадзеным стацыянарным пункце с канечную другую вытворную. Тады гэта функцыя мае ў пункце с лакальны максімум, калі , і лакальны мінімум, калі .

Знаходж. макс. і мін. знач. на [a;b]:

Няхай f(x) вызначана і непарыўна на некаторым [a;b]. Згодна 2 Т.Ваерштраса непарыўная ф-ыя абавязкова дасягае ў некаторым пункце з [a;b] свайго найменшага і найбольшага значэнняў. Разгледзем найбольшае значэнне. Яно можа дасягацца або ва ўнутраным пункце x0 з [a;b], або на адным з канцоў адрэзка [a;b].

Адсюль відавочна, што для знаходжання найбольш. значэння функцыі f(x) на адрэзку [a;b] трэба параўнаць паміж сабой значэнні f(x) ва ўсіх пунктах лакальнага максімума і ў гранічных пунктах адрэзка a і b. Найбольшае з гэтых значэнняў і з’яўляецца найбольшым значэнем f(x) на [a;b]. Аналагічна знаходзіцца і найменшае значэнне f(x) на [a;b].

Азн.: Няхай функцыя f вызначана на прамужку Х і прымае найбольшае і наймеьшае значэнні на гэтым прамежку адпаведна у пунктах х1 і х2, тады х1 – пункт абсалютнага max функцыі f на прамежку Х, а х2 – пункт абсалютнага min ..., значэнні функцыі f у гэтых пунктах называюцца адпаведна абсалютнымі max (min) функцыі f на прамежку Х або найбольшым і найменьшым значэннямі функцыі f на прамежку Х.

Тэарэма: калі функцыя f непарыуна на прамежку Х і мае адзіны пункт экстрэмуму , тады, калі - пункт max (min), то у ім функцыя прымае найбольшае (найменьшае) значэнне f( ) на прамежку Х.