6.Розныя азначэннi лiмiту I непарыунасцi функцыi у пункце.

Азн.Калi кожнаму значэнню зменнай x мн-ва X ставiцца у адпаведнасць па вядомаму закону некаторы лiк y, уY то кажуць, што на мн-ве X зададзена функцыя y=y(x) цi y=f(x).

X-абсяг вызначэння (D_f)

Y-абсяг значэнняу (E_f)

Лiмiт функцыi у пункце.Няхай функцыя y=f(x) вызначана на некаторым бясконцым мн-ве X i няхай x₀-лiмiтавы пункт мн-ва X(г.зн.x₀-пункт бясконцай прамой(- ;+ ), x₀-можа X, а можа не X, але у любым -наваколлi гэтага пункта x₀ змяшчаюцца пункты мн-ва X, якiя адрознiваюцца ад x_0. [Няхай мн-ва Х для δ>0 мае хаця б 1 эл-т, якi належыць iнтэрвалу (x_0, x₀₊ δ) [цi(x₀-δ, x₀)]]

Азн.па Гейне.Лiк АR наз-ца лiмiтам [правым (левым)]ф-цыi y=f(x) у пункце x₀R(цi пры x→x₀) калi для любой паслядоунасцi значэнняу аргумента x₁,x_2,,…,x_n,… збежнай да x₀ i складаючайся з лiкау x_n [ i утрымлiваючай лiкi > x₀(<x₀)], якiя адрознiваюцца ад x₀, адпаведная паслядоунасць значэнняу ф-цыi f(x₁), f(x₂),…, f(x_n)…збягаецца да лiку А. {1) x₀-лiмiтавы пункт D_f ; 2) ( (x_n)) (x_nD_f) (x_n≠ x₀ ∀n∊N) [x_n→x₀,n→(f(x_n)→A пры n→)]}

Азн.па Кашы.Лiк А наз-ца лiмiтам [правым (левым)]ф-цыi y=f(x) у пункце x₀(цi пры x→x₀) калi для  дадатнага лiку  знойдзецца адпаведны яму дадатны лiк ,такi што для усiх значэнняу аргумента х, якiя задавальняюць умове 0<|x-x₀|<δ [x₀<x< x₀ +δ (x₀-δ<x<x₀)] ,праудзiцца няроунасць |f(x)-А|<.{1) x₀-лiмiтавы пункт D_f ; 2) (>0) (δ,δ()>0) (xD_f) [0<|x-x₀|<δ |f(x)-А|<}

Абазн.лiмiт ф-цыi у пункце x₀: Lim_x→x0 f(x)=A [Lim_x→x0+0 f(x)=A (Lim_x→x0-0 f(x)=A)], цi

f(x)→ _x→x0 А [f(x₀+0)=A (f(x₀-0)=A)]

Прыклады:1) f(x)=с=соnst мае Lim=c у кожным пункце x₀ бясконцай прамой.( х f(x)-с<0  |f(x)-с|< >0) 2) f(x)=х - | - | - | у кожным x_0.

3) f(x)=sgnx=

у пункце x₀=0 f(x) мае левы(-1) i правы(+1) лiмiты, у x₀=0 лiмiту няма.

Лiмiт функцыi пры x→. Няхай функцыя y=f(x) зададзена на мн-ве Х, для δ>0 маецца хаця б 1 эл-т, якi не належыць iнтэрвалу [-δ,+δ].

Азн.па Гейне.Лiк АR наз-ца лiмiтам ф-цыi y=f(x) пры x→, калi для любой бясконца вялiкай паслядоунасцi значэнняу аргумента (x_n) адпаведная паслядоунасць значэнняу ф-цыi (f(x_n)) збягаецца да лiку А.

Азн.па Кашы. Лiк А наз-ца лiмiтам ф-цыi y=f(x) пры x→, калi для  дадатнага лiку  знойдзецца адпаведны яму дадатны лiк δ,такi што для усiх значэнняу аргумента х, якiя задавальняюць умове |x|>δ, праудзiцца няроунасць |f(x)-А|<

Абазн: Lim_x→ f(x)=A

Прыклад. f(x)=1/x (x≠0) Lim f(x)=0 пры х→

Азн.Калi Lim_x→ f(x)=A ,то прамая у=А наз-ца гарызантальная асiмптота да графiку ф-цыi

y=f(x).

Азн.Калi Lim_x→x0 f(x)= (1) x₀-лiмiтавы пункт D_f ; 2) (>0) (δ,δ()>0) (xD_f) [0<|x-x₀|<δ |f(x)|>  ] )то прамая у=x₀ наз-ца вертыкальнай асiмптотай.

Непарыунасць ф-цыi.Няхай зададзена ф-цыя роуная f(x) i пункт x₀-лiмiтавы пунктмн-ва Х,на якiм зададзена ф-цыя f(x).(любое -наваколле пункта x₀ утрымлiвае пункты D_f, якiя адрознiваюцца ад x₀).

Азн.па Гейне. Ф-цыя y=f(x) наз-ца непарыунай [справа (злева)] у пункце x₀,калi для любой збежнай да x₀ пасляд-сцi значэнняу аргумента х₁,x_2,,…,x_n,… [якiя задав. умове x_n>x₀ (x_n<x₀)] адпаведная пасл-сць зн-няу ф-цыi f(x₁), f(x₂),…, f(x_n)…збягаецца да лiку функцыя f(x₀).

А зн.па Кашы. Ф-цыя y=f(x) наз-ца непарыунай у пункце x₀ [справа (злева)],калi для любога дадатнага лiку  знойдзецца адпаведны яму дадатны лiк δ,такi што для усiх значэнняу аргумента х, якiя задавальняюць умове |x-x₀|<δ

[x₀<x< x₀ +δ (x₀-δ<x<x₀)] праудзiцца няроунасць |f(x)- f(x₀)|< 

Калi ф-цыя f(x) непар. у пункце x₀ i злева, I справа, то яна непарыуна у гэтым пункце. Пункты, у якiх ф-цыя не з’яуляецца непар.- пункты разрыва ф-цыi:

1)1роду: а)пункт скасавальнага разрыву:

f(x₀-0)= f(x0+0)≠ f(x₀) б) пункт з канечным скачком: f(x₀-0)≠ f(x0+0)

2)2 роду: а)з бясконцым скачком:  Lim справа i злева, 1 з iх роуны  б)пункт нявызначанасцi:

калi цi Lim справа, цi злева не 

Азн. Функцыя f(x) непар.на [a;b]калi яна непар.у кожным яго унутр.пункце i непар.справа у пункце a i непар.злева у пункце b.[ f(x)-непар.на (a;b)-калi непар.у кожн.пункце iнтервала]

Тэарэма аб прамежкавых зн-нях непар.ф-цыi.

Няхай ф-цыя y=f(x) вызначана на адрэзку [a;b]

Т1.Бальцана-Кашы.Няхай ф-цыя непар.на адрэзку [a;b] i няхай знач.гэтай ф-цыi у канцавых пунктах адрэзку маюць розныя знакi, тады памiж пунктамi a i b неабходна знойдзецца пункт с, с (a;b) у якiм ф-цыя будзе роуна 0.

Д оказ:Няхай для пэунасцi f(a)<0 i f(b)>0. Падзелiм адр.[a;b] на два роуныя адр., тады або f((a+b)/2)=0 i Т.даказана, т,я.с= (a+b)/2; або f((a+b)/2)≠0, тады у канцавых пунктах аднаго з адрэзкау [a; a+b)/2] i [a+b)/2;b] ф-цыя f(x) будзе мець знач.розных знакау i пры тым на левым канцы адм.знач.,на правым-дадатнае. Абазн.гэты адр. [a₁;b₁]: f(a₁)<0 i f(b₁)>0. Падзелiм адр. [a₁;b₁] на роуныя часткi i зноу атрымаем цi f((a₁+b₁)/2)=0 i Т.даказана, т,я.с= (a₁+b₁)/2; або f((a₁+b₁)/2)≠0, тады у канцавых пунктах аднаго з адрэзкау ф-цыя f(x) будзе мець знач.розных знакау i пры тым на левым канцы адм.знач.,на правым-дадатнае. Абазн.гэты адр. [a₂;b₂]: f(a₂)<0 i f(b₂)>0. Працягнем гэты працэс, пры гэтым або пасля канечн.лiку крокау знойдзем пункт, у якiм ф-цыя f(x) будзе =0, або атрымаем бясконц.пасляд. сцяжных адрэзкау ([a_n;b_n]), f(a_n)<0, f(b_n)>0 i b_n- a_n=(b-a)/2ⁿ→0 пры n→ г.зн. што у паслядоунасцi будзе iснаваць адзiны пункт с, якi належыць адр. [a_n;b_n], n=1,2,3…пры чым Lim_n→ a_n = Lim_n→ b_n =c. Адсюль згодна азнач.непар.па Гейне мае Lim_n→ f(a_n)= Lim_n→ f(b_n) =f(c).Пяройдзем да лiмiту у няр-сцi: f(a_n)<0, f(b_n)>0 Lim_n→ f(a_n)= f(c)≤0 Lim_n→ f(b_n) =f(c)≥0  f(c)=0

Т2.Бальцана-Кашы. Няхай ф-цыя непар.на адрэзку [a;b] i пры гэтым f(a)=A i f(b)=B. Няхай с-любы лiк, якi знах-ца памiж лiкамi A i B, тады на адр.[a;b] заусёды знойдзецца пункт x=c, дзе a<c<b, такi што f(с)= С.

Доказ: Будзем лiчыць, што A<B i A<C<B. Разгл. на адр. [a;b] дапам.ф-цыю φ(x)= f(x)-c. Гэта ф-цыя непар. на [a;b] i φ(a)= f(a)-c=A-C<0

φ(b)= f(b)-c=B-C>0. Тады з Т1.Б.-К. вынiкае, што памiж a i b знойдз.пункт с, такi што φ(с)=0 f(с)-c=0 f(c)=C.

7 Трыганаметрычныя функцыи у рэчаисным абсягу.Раскрыцце sin і соs у шэраг Маклорэна.

f(x)=sinx, f’(x)=sin(x+π/2),..., f^(k)(x)=sin(x+kπ/2), тады f(0)=0, f’(0)=1, f´´(0)=0, f´´´(0)=-1,..., f^(2m)(0)=0, f^(2m+1)(0)=(-1)^m. Па формуле маклорэна маем: sinx=x/1!—x³/3!+x⁵/5!-…+

+(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+[x²ⁿ⁺³/(2n+3)!]sin[Θx+(2n+3)π/2]

x²ⁿ⁺³/(2n+3)!0, калі n. Так як абсалютнае значэнне sin не праўзыходзіць 1,то [x²ⁿ⁺³/(2n+3)!]sin[Θx+(2n+3)π/2]0, гэта значыць

sinx=x—x³/3!+x⁵/5!-…+(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!... мае месца для усіх x.

Аналагічна соsx=1-x²/2!+x⁴/4!-…+(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!мае месца для усіх x.

Азначэнне y=cosx, y=sinx, y=tgx, y=ctgx.

Уласцівасці:непарыўнасць. 1) lim_xx0cosx=cosx₀, для x₀R=>y=cosx- непарыўна ваўсім абсягу вызначэння.

2) y=sinx. y=sin(x₀-x)-sinx₀=2sinx/2*cos(2x₀+x)/22*1*x=x,

x-x₀<, f(x)-f(x₀)<ε, yx, для (ε>0), (>0)=>y=sinx- непарыўна ў пункце x₀R, так як x₀ адвольны лік то функцыя будзе непарыўна ва ўсім сваім абсягу.

Дыферанцавальнасць: y=sinx

вытворная ад косінуса знаходзіцца аналагічна, ці так:

Азначэннікамплексных функцый камплекснай зменнай

Аз:калі кожнаму zD пастаўлены у адпавелнасць лік , з мноства E,то какжуць што адзначана функцыя =f(z). D- абсяг існавання функцыі, E-мноства значэнняў функцыі, z- незалежная комплексная зменная=>камплексныя функцыі=>z- камплексная, і - камплексная.

z=x+iy→=u+iv., u=u(x,y), v=v(x,y)

f(z)= u(x,y)+iv(x,y)

Аз: sinz=(e^iz-e^-iz)/2i

Аз: cоsz=(e^iz+e^-iz)/2

Т: Каб функцыя =f(z) была непарыўнай у пункце z₀=x₀+iy₀ неабходна і дастаткова каб непарыўнымі былі яе рэчаісная(u)і уяўная(v) часткі у пункце(x₀,y₀)

Свойства:

1. sinz и cosz определены для всех z С, так как zС определена показательная функция e^z.

2. Функции непрерывны во сей комплексной плоскости, так как непрерывна во всей комплексной плоскости функция w=e^z.

3. Функции являются переодическими с периодом 2. Действительно, имеем

4. функции являются аналитическими .

5. например для функции w=sinz. Выделим действительную и мнимую части функции.

6. 

7. Отсюда имеем, что

8. 

9. Легко проверить, что условие Коши-Римана

10. 

11. выполняется для всех zС. Так как функции u(x,y) и v(x,y) имеют непрерывные частные производные и условие К-Р выполняются для всех zС, то ф. w=sinz является аналитической во всей комплексной плоскости.

12. Вычислим производную функции w=sinz.

13. 

14. Аналогичным образом доказывается, что (cosz)’=-sinz.

15. Разложение y=sinz в ряд:

16.