25. Паняцце кубавальнасці і аб’ёмау целау.
Паняцце кубавальнасці
Азн.
Мнагагр-м
(
)
наз. цела, якое атр-ца аб/яд-м
трохвугольных пирамид, якия не маюць
агульных пунктау.
У
курсе геам-и разгл-ца:
ф-цыя V, якая адлюстр-е
мн-ва мнагагр-ау G у мн-ва
сапр-х ликау:
,
такая, што мае улас-ци: 1)
- неадмоунасць; 2)
- адытыунасць; 3)
яки
наз-ца адзинкавым кубам - нармаванасць;
4) А=В => V(A)=V(B)
- инварыянтнасць; 5)
-
манатоннасць.
Азн. Значэнне ф-цыи V, якое адпав-е мнагагр-ку G наз-ца аб/ёмам мнагагр-ка.
Няхай
.
Разгл-м мн-кі умежаваны ў G
(
)-(1/)
и мн-нік акрэсліны вакол
G (
)-(2/).
Відавочна выконваецца няроўнасць:
V(А)≤V(G)
(1), и
(2). З
(1) вынікае, што мн-ва аб/ёмау
V(А) абмежавана
зверху,а V(В)
– знізу.
Т.ч sup{V(А)}=V*(G) (3) – ніжні аб’ём фігуры G.
inf{V(В)}=V*( G) (4)- верхні аб’ём фігуры G.
На падставе улас-цей даклад-й верх-й и нижн-й межау => V(А)≤ V*(G) (3)
V*(
G)
(4).
З (1), (2), (3) и (4) => V(А)≤ V*(G) ≤ V*( G) ≤ V(В) (5). З (5) => V*(G) ≤ V*( G).
Азн. V*(G) наз-ца унутраным аб/ёмам цела G, а V*( G) – вонкавы (знешни).
Азн. Калі вык-ца роунасць V*(G)=V*(G)=V(G) (6), то цела G называецца кубавальным, а V(G) назваецца яго аб’ёмам.
Заувага: Калі цела G не змяшчае ниводнага мнагагр-ка, то унутраны V*(G)=0.
Прыклады кубав-х фигур: 1) мн-к , т.як. вык-ца V*(G)=V*(G)=V(G) (6). 2)Куб, цыл-др;
Неабходныя и дастатковыя умовы кубавальнасци целау:
Тэарэма1: Для таго, каб цела G было куб-ным, н. и. д., каб яго мяжа Г(G) была целам нулявога аб/ёму.
Тэарэма2:
(на мове мнагагр-ау). Для
таго, каб цела G
было куб-ным, н. и. д., каб иснавали 2
пасл-ци мнаг-ау (Аn)
i (Bn)
адпаведна, якия змяшч-ца и змяшчаюць
цела G
(Аn)
G,
(Bn)
G
так, што
=
=V(G)
(7).
Тэарэма3: (на мове куб-х целау). Для таго, каб цела G было куб-ным, н. и. д., каб иснавали 2 пасл-ци куб-х целау (Аn) i (Bn) адпаведна, якия змяшч-ца и змяшчаюць цела G так, што = = V(G) (8).
Паняцце аб’ёмау целау
1) Аб’ём прамога цылиндра
Азн.1: Цылиндрычнай паверхняй наз-ца паверхня, якая утв-ца рухам прамой (утваральнай) // дадзенай прамой уздоуж крывой (кироунай).
Азн.2: Прамым цылиндрам наз-ца цела, якое абмеж-на цыл-й паверхняй, утвар-я якога пл-ци, 2-мя пл-ми, якия // и перпенд-я гэтай утвар-й.
Азн.3:Частки плоскасцей, якия утвар-ца выразаннем гэтых пл-цей //-ных пл-цям цылиндрычнай паверхни, наз-ца асновами цылиндра.
Т
эарэма1:
Прамы цылиндр, у якога
асновы квадравал-й фигуры Р з/яул-ца
кубав-м целам и падличваецца так:
.
Выличэнне аб’ёма С-цела
Разгледзем
цела G,
якое
заключана п/ж 2-мя //-ми
пл-ми х = а, х = в, перп-ми воси Ох, такое,
што: 1) у сечыве гэтага цела пл-ми, якия
прах-ць праз любы п. воси Ох,
ёй, атр-ца квадр-ыя
фигуры (G:
),
плошчы яких S(P)=S(x);
2) Ф-я S(x)
– непар. на [a;b];
3) Дзве праекцыи цела G
на пл-ци
Ох
змяшчаецца адна у адну. Адзначанае цела
наз-ца С-целам.
Тэарэма2:
С-цела
– кубавальнае цела и аб’ём яго роуны:
.
□ Разаб/ём
адрэзак [a;b]:
Т-разбиука: а=х0<
х1<…<xk-1<xn=b;
и праз кожны пункт разбиуки правядзем
пл-ци
Ох.
Атрымаем n-слаёу. Ф-цыя
S(x)
па азн-ню непар-я на [a;b]
и на кожным з частковых адр-у [хк-1;
хк] i
на гэтых адр-ках яна будзе
прымаць найм-е и найб-е знач-ни. Пабудуем
прамыя цыл-дры, заключ-я п/ж пл-цями х =
хк-1,
х = хк
, якия маюць адпаведны аб’ём.
mk
, Mk
(найм-я и найб-я плошчы), mk
, Mk
.
Т.ч. атр-ся 2 пасл-ци
цыл-ных целау, якия
,
=>
,
.
(1)
(2)
V(Pn)
– аб’ём прыступ-га цела,
якое змяшч-ца у целе S=S;
V(Qn)
- аб’ём прыступ-га цела, якое
змяшч-е цела S=S.
На падставе т.3. абодва прыступ-я целы
з/яул-ца кубавал-ми целами. Т.ч. мы
пабудавали 2 пасл-ци куб-х целау (Pn)
и (Qn),
якия на падставе т.3. задав-е умове:
=
=
V(G)
(3). З др. боку сумы (1) и (2) з/яул-ца
интэгр-ми и таму яны маюць адзины лимит:
=
=
(4). Параунаем правыя
частки (3) и (4) и => =>
(5). ■
Заувага: Для знах-ня аб’ёма цела па фор-ле (5) даст-ва мець фор-лу плошчы папярэчнага сечыва.
Прыклад:
1)Знайсци
аб’ём пирамиды. Або дак-ць, што аб’ём
пирамиды роуны:
.
Р
– квадрав-я фигура. Па т. 2:
(5*). Цела G з/яул-ца
кубав-м. Кавальеры даказау, што парал-я
асновы падоб-х пирамид аднос-ца як
квадраты их вышынь:
2) Выкарыстанне формулы для вылічэння аб’ёму шара.
x2+y2=a2;
y2=a2–x2;
;
; V(δ)=
.