1O. Задача аб вольных і вымушаных ваганнях

Няхай цела масы m падвешана на спружыні, верхні канец якой нерухома замацаваны.

У стане раўнавагі вага mg цела ўраўна­важваецца пругкай сілай спружыны.

Па закону Гука гэтая сіла прапарцыянальна даўжыні s адрэзка, на які расцягнута спружына.

Тады маем роўнасць mg=cs (1)

дзе C — каэфіцыент прапарцыянальнасці.

Праз цела вертыкальна ўніз правядзём вось Oy, і стану раўнавагі нададзім значэнне y = 0.

Вывядзем цела са стану раўнавагі, для чаго адвядзем цела ўніз на значэнне y = y₀.

Цела пачне рухацца. Адхіленне ад стану раўнавагі ў момант часу t абазначым праз y(t). Рух цела апісваецца функцыяй y = y(t).

Саставім раўнанне для знаходжання гэтай функцыі.

У кожны момант часу на цела ўздзей­нічаюць наступныя сілы:

1) сіла цяжа́ру F₁ = mg, якая цягне ўніз;

2) пругкая сіла спружыны, якая цягне ўверх:

F₂ = – C(s + y);

3) сіла супраціўнення асяроддзя, якая прапарцыянальна скорасці руху і накіравана супраць напрамку скорасці:

F₃ = – ky, дзе k — каэфіцыент прапарцыянальнасці.

Такім чынам, на цела ўздзейнічае сіла F = F₁ + F₂ + F₃ = mg – C(s + y) – ky = | карыстаемся (1) | = mg-cs-cy-ky’ ,т.ч. F= –cy-ky’

Згодна з другім законам Ньютана, гэтая сіла роўная здабытку ма на пскарэнне my’’=F адкуль

my = – Cy – ky, дыф. раўнанне вольных ваганняў (2)

Калі на цела акрамя трох сіл уздзейнічае яшчэ вонкавая сіла F_в(t), тады раўнанне (2) мае выгляд

my = – Cy – ky + F_в(t),

і атрымліваем раўнанне

my + ky + Cy = F_в(t). (3)

Заўвага. Сіла F_в(t) можа не ўздзейніць непасрэдна на цела. Напрыклад, калі верхні канец спружыны рухаецца ў вертыкальным напрамку па закону y = (t), тады і ўзнікае вонкавая сіла на цела.

22. Паняцце метрычнай прасторы прыклады такіх прасторау. Адкрытыя і замкнутыя мноствы і іх уласцівасці.

Успомнім, што адлегласць паміж дзвюма пунктамі М₁(х₁,y₁) і М₂(х₂,y₂) плоскасці падлічваецца па формуле

і мае ўласцівасці: 1) (M₁,M₂) 0; (M₁,M₂) = 0  M₁ = M₂; 2) (M₁,M₂) = (M₂,M₁);

3)(M₁,M₂)  (M₁,M₃) + (M₂,M₃) (няроўнасць трохвугольніка).

Нагадаем, што калі маюцца два непустыя мноствы X і Y, то іх дэкартавым здабыткам X  Y называецца мноства усіх упарадкаваных параў . У прыватнасці X  Х абазначаецца X². Абагульнім паняцце адлегласці на любое мноства з дапамогаю паняцця дэкартавага здабытку двух мностваў: .

Азн 1.1. Няхай Х – некаторае непустое мноства любой прыроды. Разгледзім дэкартавы здабытак . Метрыкай на мностве Х называецца сапраўдная функцыя , азначаная на здабытку Х  Х і здавальнаяючая x, y, zX наступным умовам: 1) (x,y)0; (x,y)=0  x = y; 2) (x,y) = (y,x); 3) (x,y)  (x,z) + (y,z) (няроўнасць трохвугольніка). Значэнне функцыі  у пункце (x,y) , г.зн. лік (x,y) называецца адлегласцю паміж пунктамі x i y. Умовы 1-3 называюцца аксіёмамі мeтрыкі.

Азн 1.2. Мноства Х з метрыкай  на гэтым мностве, г.з. упарадкаваная пара (Х, ), называецца метрычнай прасторай (м.пр.). Элементы мноства Х называюцца элементамі або пунктамі м.пр. (Х, ).

Азн 1.3. Няхай дадзена м.пр. (Х, ), няхай МХ, _м(x,y) = (x,y). Відавочна, што і прастора ( М, _м ) у гэтым выпадку будзе метрычнай прасторай, паколькі М  М  Х  Х.. Прастора (М, _м) называецца падпрасторай метрычнай прасторы ( Х,  ).