Агульнае, частковае і асаблівае рашэнні

Няхай абсяг D, які належыць плоскасці хОу, — гэта той абсяг, у кожным пункце якога раўнанне

у'=f(х,у)

(1)

мае адзінае рашэнне.

Азн 4.1. Функцыя

y=φ(x,C),

(2)

якая вызначаная ў некаторым абсягу змянення зменных х, С і якая мае непарыўную частковую вытворную па х, называецца агульным рашэннем раўнання (4) у абсягу D, калі

1) судачыненне (2) з'яўляецца вырашальным адносна С пры ўсіх значэннях х і у з абсягу D, гэта значыць

С=(х,у).

(3)

2) для ўсіх значэнняў х і у з абсягу D формула (3) дае такое значэнне С, уключна , пры якім функцыя (2) з'яўляецца рашэннем раўнання (1).

Заўвага. Сутнасць гэтага азначэння ў наступным: няхай дадзена сям'я крывых F, якія належаць D і залежаць ад аднаго параметра С. Калі пра кожную крывую з F вядома, што яна з'яўляецца інтэгральнай крывой раўнання (1) і ўсе крывыя з F у іх сукупнасці пакрываюць D, тады F – агульнае рашэнне раўнання (1) у абсягу D.

Азн 4.2. Рашэнне, ва ўсіх пунктах якога выконваецца ўмова адзінасці, называецца частковым рашэннем.

Заўвага. Калі мноства D, на якім вызначана агульнае рашэнне (х,С), не супадае з усім мноствам пунктаў існавання і адзінасці рашэння задачы Кашы для раўнання у'=f(х,у), то формула агульнага рашэння ўтрымлівае ў сабе не ўсе частковыя рашэнні дадзенага раўнання, а толькі іх частку. Астатнія рашэнні ўключаны ў формулы другіх агульных рашэнняў.

Калі пры інтэграванні дыферэнцыяльнага раўнання агульнае рашэнне атрым­ліваецца ў няяўным выглядзе, тады выкарыстоўваюць тэрмін агульны інтэ­грал.

Азн 4.3. Судачыненне

Ф(х,у,С)=0

(4)

называецца агульным інтэгралам раўнання (1) у абсягу D, калі яно вызначае агульнае рашэнне у=(х,С) раўнання (1) у абсягу D.

Азн 4.4. Рашэнне ў параметрычнай форме, якое залежыць ад адвольнай сталай х=(t,C), y=(t,C), называецца агульным рашэннем у параметрычнай форме.

Азн 4.5. Калі агульны інтэграл дыферэнацыяльнага раўнання мае выгляд Ф(х,у)=С, тады функцыю Ф(х,у) называюць інтэгралам гэтага раўнання.

Азн 4.6. Асаблівым рашэннем раўнання у'=f(x,y) называецца такое рашэнне, у кожным пункце якога парушаецца адзінасць рашэння задачы Кашы.

Разгледзім зараз агінальную сямейства інтэгральных крывых як асаблівае рашэнне.

Будзем палагаць, што раўнанне

(3)

дапускае аднапараметрычнае сямейства інтэгральных крывых

Ф (х,у,С)=0,

(4)

дзе С – параметр.

Азн 4.7. Крывая, якая ў кожным сваім пункце датыкаецца хаця бы адной крывой сямейства (4) і ні на якім прамежку не супадае ні з воднай з крывых гэтага сямейства, называецца агінальнай.

Дыферэнцыяльныя раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца

Для раўнанняў выгляду

M(x)dx+N(y)dy=0,

(1)

дзе функцыі M(x) і N(y) – функцыі непарыўныя на некаторым прамежутку. Тады агульны інтэграл раўнання (1) мае выгляд:

(2)

дзе (х₀,у₀) – адвольны пункт у абсягу Д.

Агульны інтэграл таксама можа мець і наступны выгляд:

(3)

(паколькі функцыі M(x) і N(y) – непарыўныя і

Дыферэнцавальнае раўнанне выгляду (1) называецца дыферэнцавальным раўнаннем са зменнымі, якія падзелены.

Часта раўнанні, для якіх умова (3) не выконваецца, можна прывесці да раўнанняў у поўных дыферэнцыялах з дапамогай множання на некаторую функцыю =(x,y), якая называецца інтэгроўны множнік.

Інтэгроўны множнік для раўнання

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

(*)

заўсёды можна лёгка знайсці, калі яго каэфіцыенты задавальняюць умовам :

M(x,y)=φ1(x)f1(y), N(x,y)=φ2(x)f2(y).

(4)

Тады раўнанне можна запісаць у выглядзе

φ1(х)f1(y)dx+φ2(x)f2(y)dy=0.

(5)

Памножым роўнасць (5) на множнік , дзе ₂(x)0, f₁(y) 0, тады атрымаем раўнанне:

.

(6)

Заўважым, што рашэнні раўнанняў ₂(х)=0 і f₁(y)=0 могуць з'яўляцца асаблівымі рашэннямі. Раўнанне (6) – раўнанне з падзеленымі зменнымі, дзе функцыя з'яўляецца інтэгроўным множнікам раўнання (5).

І таму агульны інтэграл раўнання (6) мае выгляд

Раўнанне (*), для каэфіцыентаў якога выконваецца ўмова (4), называецца раўнаннем з каэфіцыентамі, якія падзяляюцца.

Заўвага. Дыферэнцыяльнае раўнанне са зменнымі, якія падзяляюцца, лёгка можна прывесці да раўнанняў выгляду

Гэта раўнанне таксама называюць дыферэнцыяльным раўнаннем са зменнымі, якія падзяляюцца.

Разгледзім цяпер дыферэнцыяльнае раўнанне выгляду

(8)

Калі b=0, то раўнанне (8) мае выгляд

Мноства ўсіх рашэнняў гэтага раўнання задаецца формулай:

y= , дзе СR.

Разгледзім цяпер выпадак, калі b0. Тады раўнанне (8) можна пера­ўтварыць у раўнанне са зменнымі, якія падзяляюцца з дапамогай падстаноўкі

u=ax+by+c.

(9)

Дакажам гэта. З (9) вынікае, што адкуль

(10)

Падставім (9) і (10) у раўнанне (8), атрымаем:

Гэта раўнанне з падзеленымі зменнымі. Інтэграваць яго мы ўжо можам.