Таксама разглядаюць эквівалентныя раўнанні

	dy-f(x,y)dx=0,	(3)
	M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.	(4)

Заўважым, што раўнанне (4) атрымліваецца з (3), калі (3) памножыць на некаторыю функцыю N(x,y)0. Будзем лічыць, што каэфіцыенты M(x,y) i N(x,y) з'яўляюцца функцыямі, непарыўнымі на некаторым абсягу. Ад раўнанняў (2) і (2') можна заўседы перайсці да (4) і наадварот.

Гавораць, што калі дыферэнцыяльныя раўнанні маюць выгляд (4), то яны зададзены ў дыферэнцыяльнай форме.

Разглядаюць і раўнанні ў сіметрычнай форме:

(3')

У выпадку, калі правая частка раўнання (2) не змяшчае у, то атрымаем дыферэнцыяльнае раўнанне выгляду:

.

(5)

Калі функцыя f(x) вызначана і непарыўна на прамежку І , то кожная першаісная функцыі f(x) на І з’яўляецца рашэннем раўнаня (5). Іншых рашэнняў (5) не мае.

З матэматычнага аналізу вядома, што пры любым x₀І і адвольнай сталай С усе першаісныя змяшчаюцца ў формуле

у(х)=

(6)

і таму рашэнне раўнання (5) мае выгляд (6).

Заўвага. Калі ў якасці першаіснай узяць , то рашэнне можна запісаць у выглядзе

y(x)= ,

(7)

дзе пад сімвалам неабходна разумець не мноства ўсіх першаісных функцый f(x), а адну якую-небудзь фіксаваную першаісную гэтай функцыі.

Такім чынам, дыферэнцыянальнае раўнане першага парадку (5) мае бясконцае мноства рашэнняў выгляду

у= (х,С).

(8)

Рашэнне выгляду (8) называюць агульным рашэннем раўнання (5).

дзе С – адвольная сталая з некаторага абсягу змянення (С), якое называюць агульным рашэннем раўнання (2).

Рашэнне, якое атрымана з агульнага рашэння (9) пры частковым значэнні С называецца частковым рашэннем.

Рашэнне, якое нельга атрымаць з агульнага рашэння пры частковым значэнні С, называюць асаблівым рашэннем.

Далей мы вызначым больш дакладна паняцце асаблівага і агульнага рашэнняў.

Судачыненне выгляду Ф(x,y,C)=0, якое няяўна вызначае агульнае рашэнне, называецца агульным інтэгралам дыферэнцыяльнага раўнання першага парадку (2).

Будзем разглядаць пытанне існавання і адзінасці рашэння

у= (х,С)

(8)

з пачатковымі значэннямі х=х₀ і у=у₀. Умова адзінасці азначае наступнае: калі у₁(х) і у₂(х) – рашэнні (2), якія вызначаны на інтэрвалах І₁ і І₂ адпаведна, і якія задавальняюць пачат­ко­вым умовам у₁(х₀)=у₂(х₀)=у_0, та­ды у₁(х)=у₂(х) на перасячэнні інтэрвалаў І₁ і І₂. З геамет­рыч­на­га пункта гледжання гэта азна­чае, што праз кожны пункт адпаведнага абсягу праходзіць інтэгральная крывая і прычым толькі адна

(гл. малюнак).

Існаванне і адзінасць рашэння дыферэнцыяльнага раўнання першага парадку

Азначэнне. Функцыя f(x, y) на абсягу D задавальняе ўмове Ліпшыца па другой зменнай, калі існуе такая канстанта L  R, што выконваецца няроўнасць

.

Лема. Калі функцыя f(x, y) на абсягу D мае абмежаваную вытворную па другой зменнай, то яна задавальняе ўмове Ліпшыца па другой зменнай.

Тэарэма Пікара. Няхай функцыя f(x, y) непарыўная на абсягу D, задавальняе на гэтым абсягу ўмове Ліпшыца па другой зменнай і пункт (x₀, y₀) з’яўляецца ўнутраным пунктам абсягу D, тады задача Кашы

y = f(x, y) (1)

y(x₀) = y₀ (2)

мае адзінае рашэнне, якое вызаначана на нейкім прамежку

x₀ – h  x  x₀ + h

і цалкам належыць абсягу D.