Форма астачы формулы Тэйлара

1. Няхай (t) = (x – t)^{n + 1} і падставім у (5), атрымаем

(8)

Астача, якая выражана формулай (8), з’яўляецца астачай формулы Тэйлара ў форме Лагранжа.

18. Функцыянальныя паслядоўнасці і шэрагі. Раунамерная збежнасць і яе прыкметы. Тэарэма аб непарыунасці сумы функцыянальнага шэрагу.

АЗН: Ф. п-цю называецца адлюстраванне мноства натуральных лікаў на мноства функцый.

, дзе F – мн-ва ф-цый.

Ф.п. гэта адпаведнасць паміж мноствам нат лікаў і мноствам ф-цый, пры каторай кожнаму натуральнаму ліку адпавядае адзіная функцыя. Абазн.:(F_n(x))=(F₁(x),F₂(x),…,F_n(x),..). (1)

АЗН: Няхай у пункце х₀ адзначаны усе члены функцыйнай паслядоўнасц (1). Кажуць, што функцыйная паслядоўнасць збягаецца ў пункце х₀, калі збягаецца лікавая паслядоўнасць (F_n (х₀₎) у пункце х₀. Пункт х₀ называецца п. разбежнасці, калі лікавая пас-ць (F_n) у п. х₀ разбежна, то х₀ – п. разбежнасці паслядоўнасці (1).

АЗН: Мн-ва п. збежнасці наз. абсягам збежнасці ф.п. (1). Мн-ва п. разбежнасці – абсягам разбежнасці.

Напрыклад:

(е^х,е^2х,...,е^nx,…)

x₀=0 лікавая паслядоўнасць (1,1,..., 1,...)=(е⁰)- збежная, т.я. .

х₁=2 лікавая пасл. (е²ⁿ)- разбежная, т.я. . - абсяг збежнасці (е^nx).

- абсяг рабежнасці.

АЗН: Ф.п. (1) збягаецца раўнамерна да F(x) калі вобласць вызначэння функцыі F(x) з’яўляецца мноства Х і калі | F_n(x)-F(x)| < ε.

АЗН: Няхай дадзена ф.п. (U_n(x)) (1) і пасляд. частковых сум (S_n(x))=(S₁(x),S₂(x),…,S_n(x),..). (2), тады пару ((U_n(x)), S_n(x)) наз. функцыйным шэрагам і абазначаюць (3).

АЗН: Ф.ш. (3) наз. збежным у п. х₀ , калі адпаведны яму лікавы ш. (4)-збежны, п. х₀ –п. збежнасці, а мноства п. збежнасці будзем наз. абсягам збежнасці. Ф.ш. (3) наз. разбежным, калі адпаведны лік. ш. (4) разбежны п. х₀ –п. разбежнасці, а мноства п. разбежнасці- абсягам разбежнасці.

АЗН: Ф.ш. (3) раўнамерна збягаецца да суммы S(x), калі паслядоўнасць частковых сум будзе раўнамерна збягацца да лімітавай суммы S(x) на мностве Х. ( , калі (S_n(x)) на Х).

АЗН: Ш. (3) наз. абсалютна збежным на мностве Х, калі на гэтым мностве збягаецца ш. . (9)

Тэарэма Вейерштраса: Няхай ш. (3) ф.ш. на мнве Х калі ликавы ш. , (7)- дадатны і збежны, які здавальняе умове |u_n(x)|≤a_n (8) (3) – збягаецца абсалютна і раўнамерна на Х.

Д-з: (абсалютнай збежнасці ш.(3) )

Разгледзім любы х₀ Х, разгледзім (9*) . На падставе умовы |u_n(x)|≤a_n (8) і прыкмеце.параўнання для лик-х ш-у (шераг абмежаван звершу – тады ён збягаеца), можна зрабіць выснову, што ш. (9*) збежны. Пакольки х₀- выбіралі адвольна і таму збежны па азнач. (3) –збягаецца абсалютна.

Д-з: (раўнамернай збежнасці ш. (3) )

Няхай S(x) – сума шэрага r_n = S - S_n (r_n – астатак шарага (u_n(x))) , S_n=S+r_n .

- збягаецца да S то |S(x)- S_n(x)|< .

Тады |S(x)- S_n(x)| =|r_n |= .

Т. я. - збежны, то поводле азначення ён збягаеца раунамерна.

Прыклад: (А)

раун-на абс-на зб-ны

Тэарэма( аб непарыўнасці сумы ф.ш.): Калі усе члены (3) функцыя непарыўная, на прамежку х, а сам ш. (3) раўнамерна збягаеца да сваёй сумы на мностве Х,то сума S(x) – функцыя непарыўная на х. Усе члены (3) ш.(3) на Х S(x)– непарыўная функцыя на Х.