1. Ліміт лікавай пасл-ці. Існаванне дакладнай верхняй мяжы абмеж зверху мноства. Тэарэма аб ліміце манатоннай паслядоўнасці.

Ф-я f наз лікавай, калі D(f) – мноства лікаў і E(f) – мноства лікаў.

Лікавай паслядоунасцю наз лікавая функцыя, якая вызначана на мностве натуральных лікаў, абазн {Xn}.(n=1,2,3,…)

Лік а наз лімітам паслядоунасці {Xn} калі , калі для любога ε>0 існуе такі нумар

, што для нумароу n> выконваецца няр-ць , .(па Кашы)

Лік а наз лімітам паслядоунасці {Xn} калі , калі ў любым ε-наваколлі змешчаны амаль усе члены дадзенай паслядоўнасці пачынаючы з некаторага нумара (па Гейне)

Прыклад: т/д: . Д-з:

Калі паслядоўнасць мае ліміт, то яна збежная.(збежная паслядошнасць – абмежаваная).

Мноства рэчаiсных лiкау Х={x} наз. абмежаваным зверху (знiзу), калi iснуе рэчаiсны лiк М (m) такi, што выконваецца няроунасць . Калi ж выконваецца няроунасць , то лiкав. пасл-ць наз. абмежаванай. Лiк М наз. верхняй мяжой. Лiк m наз. нiжняй мяжой.

Напрыклад мноства натуральных ликау N неабмежавана зверху, а мноства адмоуных цэлых лика неабмежавана знизу.Абмежаванае зверху мноства мае многа верхнiх межау. Нам цiкава знайсцi самую меньшую верхнюю мяжу. Аналагiчна самую большую нiжнюю мяжу.

Самая меньшая верхняя мяжа наз. дакладнай верхняй мяжой i абазн. sup X (супрэмум Х). Аналагiчна дакладная нiжняя мяжа абазн. inf X (iнфiнум Х).

Тэарэма: Калі мноства Х={x} абмежавана зверху(знізу), тады яно мае і дакладна верхнюю(ніжнюю) мяжу.

Доказ:

1. Правядем развагу па стаўленні да верхняй мяжы. Разгледім два выпадка:

Выкажам здагадку спачатку, што сярод лікаў х мноствы Х знойдзецца найбольшае . Тады усе лікі мноства будуць здавальняць няроўнасці , г.зн. будзе верхняй мяжой для Х. З іншага боку, ; такім чынам, для адвольнай верхняй мяжы М выкрнваецца няроўнасць Адсюль складаецца, што есць дакладная верхняя мяжа мноства Х.

2. Няхай зараз сярод лікаў х мноства Х няма найбольшага. Правядём сячэнне ў вобласці ўсіх спраўдных лікаў наступным чынам. Да верхняга класу аднясём усе верхнія межы мноства Х, а да ніжняга класу А – усе астатнія сапраўдныя лікі α. Пры гэтым разбіцці усе лікі х мноства Х трапяць у клас А, ці ні адно з іх – па дапушчэнні – не будзе найбольшым. Такім чынам, оба класа А, непустыя. Гэта разбіццё сапраўды з’яўляецца сячэннем, так як усе сапраўдныя лікі размеркаваны па классам, і кожны лік з класа большы за кожны лік з класа А. Па асноўнай тэарэме Дедікінда (Для всякого сечения в множестве вещественных чисел существует вещественное число β, которое производит это сечение. Это число β будет: 1) либо найбольшим в нижнем классе А, 2) либо найменьшим в верхнем классе ), павінен існаваць сапраўдны лік β, які праводзіць сячэнне. Усе лікі х, якія належаць класу А, не пераўзыходзяць гэтага “памежнага” ліку β, г.зн. β з’яўляецца верхняй мяжой для х, значыцьсам лік належыць класу і з’яўляецца там найменьшім. Такім чынам, β, як найменьшая з усіх верхніх межаў, і ёсць шуканая дакладна верхняя граніца мноства Х={x}.

Калі ёсць дакладна верхняя мяжа лікавага мноства Х={x}, то для усіх х будзе .

Возьмем цяпер адвольны лік α < . Так як - найменьшая з верхніх граніц, тады лік α мабыць не будзе верхняй мяжой для мноства Х, г.зн. знойдзецца такі лік з Х, што . Гэтымі двумя нароўнасцямі характырызуецца дакладна верхняя мяжа мноства Х.

Аналагічна, дакладна ніжняя мяжа m* мноства Х характарызецца тым, што для усіх х , і які б ні быў лік β, большы за , знойдзецца лік з Х, такі што .

АЗН. Лiкавая паслядоўнасць (а_n) наз. збежнай да лiку а, калi паслядоўнасць (а_n-а) ёсць бясконца малая паслядоўнасць (lim(а_n-a)=0, пры n→ ). У такiм разе лiк а наз. лiмiтам паслядоўнасцi (а_n) i пiшуць а=lim a_n пры n→ .

Калi ёсць БМП (lim =0 пры n→ ), то яна збежная да лiку 0, гэта значыць lim _n=0

пры n→ .

АЗН. Лiкавая паслядоўнасць (а_n) наз. збежнай да лiку а, калi такi, што для выконваецца няроўнасць , дзе М – сталы лiк.

Збежная паслядоўнасць можа мець толькi адзiн лiмiт.

Прыклады: пры n→ – п-ць збежная, пры n→ – п-ць разбежная.

Тэарэма аб ліміце манатоннай паслядоўнасці: Усякая ўзрастальная абмежаваная зверху паслядоўнасць збежная (Усякая спадальная паслядоўнасць абмежаваная знізу збежная)

Доказ: {Xn}, . Т/д:

Т.як паслядоунасць абмежавана зверху, то яна мае дакладную верхнюю мяжу . Па уласцівасці дакладнай мяжы: . Так як паслядоўнасць манатонная, то

2. Неабходная і дастатковая прыкмета збежнасці паслядоунасці.

Ф-я f наз лікавай, калі D(f) – мноства лікаў і E(f) – мноства лікаў.

Лікавай паслядоунасцю наз лікавая функцыя, якая вызначана на мностве натуральных лікаў, абазн {Xn}.(n=1,2,3,…)

Лік а наз лімітам паслядоунасці {Xn} калі , калі для любога ε>0 існуе такі нумар

, што для нумароу n> выконваецца няр-ць , .

Лік а наз лімітам паслядоунасці {Xn} калі , калі ў любым ε-наваколлі змешчаны амаль усе члены дадзенай паслядоўнасці пачынаючы з некаторага нумара

Прыклад: т/д: .

Калі паслядоўнасць мае ліміт, то яна збежная.(збежная паслядоўнасць – абмежаваная).

АЗН. Лiкавая паслядоунасць (а_n) наз. збежнай да лiку а, калi такi што для выконваецца няроунасць , дзе М – сталы лiк.

Збежная паслядоунасць можа мець толькi адзiн лiмiт.

Прыклады: пры n→ – п-ць збежная, пры n→ – п-ць разбежная.

АЗН: Лікавая пасл-ць (а_n) наз-ца фундаментальнай у сэнсе Кашы, калі існуе рэчаісны лік , такi што для выконваецца няроунасць .

Тэарэма Кашы: Каб пасл-ць (а_n) была збежнай неабходна і дастаткова, каб яна была фундаментальнай у сэнсе Кашы.

Доказ (неабходнасць): дано, што lim a_n=а пры n→ (а_n-а) ёсць Бясконца Малая Паслядоунасць (limXn=0 пры n→ ). Існуе , такi што для і Калі скласці гэтыя няроўнасці для .

(Дастатковасць): Г. зн. для . Зафіксуем , а n=m+p, дзе . Тады ўмова фундаментальнасці , г.зн. пасл-ць будзе абмежаванай. Паколькі сярод лікаў ёсць самы большы і самы меньшы, значыць і пасл-ць (а_n) будзе абмежаванай зверху і знізу. Па тэарэме Бальцана-Вейерштраса з яе можна вылучыць збежную падпасл-ць , , пры k→ . калі . пры k→ пры k→