11.Первообразная и неопределённый интеграл.

Опред-ие первообр от непрерыв ф-ии. Ф-ия F(x) назыв первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], если для всех значений х из этого промежутка вып- я F'(x)=f(x). Если ф-ия f(x), хЄ[a,b] - непрерыв, то для нее сущ-ет первообразная (неопред. Интеграл)

Определение неопред. интеграла. Если ф-ия F(x) - первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], то мн-о ф-ий F(x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f(x) на этом промежутке: dx=F(x)+C При этом ф-я f(x) назыв подынтегр ф-ей, f(x)dx - подынтегр выр-ем, х - переменной интегр-я.

-Производная неопред интеграла = подынтегр ф-ии. (∫f(x)dx)'=f(x). Док-во: (∫f(x)dx)'= =(F(x)+C)'= F'(x)= f(x)dx

-Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной ∫dF(x)=F(x)+C.Так как ∫dF(x)= F'(x)dx, то ∫F'(x)dx=F(x)+C. Теорема: Если ф-я F(x) является первообр ф-ии f(x) на отрезке [a,b], то мн-во всех первообр ф-ии f(x) задается формулой F(x)+C, С=const.

Док-во: F(x)+C - первообр, тогда (F(x)+C)'= F'(x)+C'= F'(x)=f(x) Ф(х) - -тоже первообразная: Ф'(х)=f(x), xЄ[a,b]. (Ф(х)-F(x))'= Ф'(х)-F'(x)=f(x)- f(x)=0 =>Ф(х)-F(x)=C, С-const. Таким образом Ф(х)=F(x)+С. Ф-ия, производ которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежут-ке. f'(x)=0 => f(x)=C, для каждого хЄ[a,b], тогда для каждого х1,х2 Є [a,b], х1<х2.

- Если k-const, ненулевое число, то ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx -k можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F(x) - первообр для ф-ии f(x), т.е. F'(x)=f(x), тогда kF(x)-первообр для ф-ии kf(x): (kF(x))'=kF'(x)=kf(x). k∫f(x)dx=k[C+(x)F]=kF(x)+C1=∫kf(x)dx, где С1=kC

-Интеграл ∫ [f(x)±g(x)]dx= ∫f(x)dx±∫g(x)dx -неопред интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммe интегр от этих

ф-ий в отдельности: Пусть F(x) и G(x) - первообразные для ф-ий f(x) и g(x): ?[f(x)+g(x)]dx=?(F'(x)+G'(x))dx=?(F(x)+G(x))'dx=?d(F(x)+G(x))= F(x)+G(x)+C= F(x)+G(x)+C1+C2=F(x)+C1+G(x)+C2 =?f(x)dx+?g(x)dx.

Вывод формулы замены переменного в неопред интегр (подстановка). Пусть ф-я x=φ(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f(x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ'(t)dt Док:Пусть F(x)-первообр для f(x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[φ(t)]: (F[φ(t)])'= F_x'[φ(t)]φ'(t) =f[φ(t)]φ'(t), т.е. ф-я f[φ(t)]φ'(t) имеет на мн-ве Т первообр F[φ(t)] > ∫f[φ(t)]φ'(t)dt= F[φ(t)]+C, Замечая что F[φ(t)]+C=F(x)+C= ∫f(x)dx, => получаем ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ'(t)dt.

Вывод формулы интегрир по частям. Пусть ф-ии u(x) и v(x) определены и диф-мы нанекотором пром-ке Х и пусть ф-я u'(x)v(x) имеет первообр на этом пром-ке. Тогда на пром-ке Х ф-я u(x)v'(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx. Док-во: [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);u(x)v'(x)=[u(x)v(x)]'-u'(x)v(x)Первообр ф-ии [u(x)v(x)]' на пром-ке Х является ф-я u(x)v(x). Ф-я u'(x)v(x) имеет первообр на Х по условию теор. , и ф-я u(x)v'(x) имеет пер-ю на Х.Интегр-уя последнее рав-во получаем: ∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx. Так как v'(x)dx=dv,u'(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ∫udv=uv-∫vdu

1.2 Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида P_n(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 +…+ a₁x¹+ a_0, n - натуральное число. a_i, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-й (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отношению 2-х мн-нов: f(x)= P_m(x)/ Q_n(x), P_m(x)-мн-eн степени m, Q_n(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a)

2) A/(x-a)^k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x²+px+q) x²+px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x²+px+q)^k k>=2

предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий: Пусть сущ f.

Если х=а - действит корень кратности k знамен-ля Q_n(x) прав-ой рацион дроби, т.е. Q_n(x)=(х-а)^k O_n-k(x) Тогда дробь будет представляться в виде суммы 2 правильных дробей: P_m(x)/Q_n(x)=A/(х-а)^k+Rs(x)/(х-а)^k-1O_n-k(x) A-некоторая постоянная, s<n-1 Док-во: P_m(x)/Q_n(x)=[A O_n-k(x)+ P_m(x)-A Q_n-k(x)]/[(х-а)^k O_n-k(x)]=[ A O_n-k(x)]/ [(х-а)^k O_n-k(x)]+[ P_m(x)-A Q_n-k(x)]/ [(х-а)^k O_n-k(x)]=A/(х-а)^k +[P_m(x)-A Q_n-k(x)]/ [(х-а)^k O_n-k(x)], для каждого А. х=а - корень ура-я P_m(x)- A O_n-k(x)=0; P_m(а)- A O_n-k(а)=0; P_m(а)?0 и A O_n-k(а)?0; A= P_m(а)/A O_n-k(а); P_m(x)- A O_n-k(x)=(x-a) Rs(x); P_m(x)/Q_n(x)= A/(х-а)^k +[(x-a) Rs(x)]/[(x-a) O_n-k(x)]= A/(х-а)^k + Rs(x)/[(х-а)^k-1 O_n-k(x)]; A= P_m(а)/O_n-1(а).

Если Q_n(x)= (x²+px+q)^µ Т_n-µ(x), где p²-4q<0, Т_n-µ(x) мн-ен не делится на x²+px+q, то правильную рацион дробь P_m(x)/Q_n(x) можно представить в виде суммы 2 правильных: P_m(x)/Q_n(x) =(Mx+N)/ (x²+px+q)^µ +Фs(x)/[ (x²+px+q)^µ-1. Т_n-µ(x)],µ,N-нек постоянные, s<n-1 Док-во: P_m(x)/Q_n(x) =[(Mx+N) Т_n-µ(x)+ P_m(x)-(Mx+N) Т_n-µ(x)]//(x²+px+q)^µ Т_n-µ(x)]= (Mx+N)/(x²+px+q)^µ+ [P_m(x)-(Mx +N) Т_n-µ(x)]/[ (x²+px+q)^µ Т_n-µ(x)] для люб µ и N. x²+px+q=0, D<0, x₁₂=?±i?, µ и N: P_m (?+i?)-[ µ (?+i?)+N]*T _n-µ(?+i?)=0. µ (?+i?)+N=[ P_m (?+i?)] /[ T _n-µ(?+i?)]=k+il. Система{ µ ?+N =k=> N=k- ?(L/b) µb=L=> m=L/b P_m(x)/Q_n(x)=(Mx+N)/(x²+px+q)^µ +Фs(x)/[ (x²+px+q)^µ-1Т_n-µ(x)] конечному пределу при ранге разбиения 0.

Разложение рацион дроби на простейшие. Если рацион ф-я R(x)/Q(x) имеет степень мн-на в числ-ле < степени мн-на в знамен-ле, а мн-н Q(x) представлен в виде Q(x)= A(x-a)^r(x-b)^s…(x²+2px+q)^t(x²+2ux+v)^z …, где a,b,.., p,q,u,v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единств образом представить в виде:R(x)/Q(x) =A1/(x-a)+A2/(x-a)²+…. An/(x-a)ⁿ+…. (M1x+N1) / (x²+2px+q)+ (M2x+N2)/ /(x²+2px+q)²+…+(Mkx+Nk)/(x²+2px+q)^k +, где А1,А2,.М1..N1-вещест числа

Определение дробно рацион фун-ии. Понятие правильной и неправ-ной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида P_n(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 ++ a₁x¹+ a_0, n - натуральное число. a_i, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-uей (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отн-ю 2-х мн-нов: f(x)= P_m(x)/ Q_n(x), P_m(x)-мн-eн степени m, Q_n(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).

Вычисление интегралов от тригонометрических ф-ий.

1) ∫R(sinx, cosx)dx Замена перем-ных tg(x/2)=t (универ. тригонометр замена) sinx=2t/(1+t²) cosx=(1-t²)/ /(1+t²) dx=2/(1+t²)dt;?R(2t/(1+t²), (1-t²)/ /(1+t²)) 2/(1+t²)dt=∫R(t)dt

2)∫R(sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=∫R(t)dt

3)∫R sinx(cosx)dx=|cosx=t, -sinxdx=dt|=-∫R(t)dt

4) ∫R(tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t²)|= ∫R(t)dt/(1+t²) 5) R(sinx, cosx)= R(-sinx, -cosx)

∫R(sinx, cosx)dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t²)| =∫R(t)dt

5) ∫sin ^m x cos ⁿ xdx

a)m=2k+1 ∫sin ^2k x cos ⁿ x sinxdx=∫(1-cos ² x)^k cos ⁿ x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-∫(1-t ²)^k t ⁿ dt

b)n=2k+1 ∫sin ^m x cos ^2k x cosxdx= ∫sin ^m x (1-sin ² x)^k dsinx

6) ∫sin ^2p x cos ^2a xdx sin²x=(1-cos2x)/2

cos²x=(1+cos2x)/2 sinxcosx=(1/2)sin2x

Вычисление интегралов от иррациональных ф-ий.

1) ∫R(x^m1/n1, …, x^mk/nk)dx Замена x=t^s, где s – наибольший меньший знаменатель дробей показателей.

2)∫R(ax+b/cx+d)^m1/n1 …dx замена аналогично пункту 1.

3) ∫R(ax+b/x²+px+q))dx, x+p/2=t, q-p²/k

4) ∫R(x, )dx a>0, то , c>0, , a<0,c<0, то t= ,где е,d - корни

5) ∫x^m(a+bxⁿ)^p dx – x^m(a+bxⁿ)^p биномиальный дифференциал, который можно проинтегрировать в следующих случаях:

1) Если p то интеграл вычисляется как алгебраическая сумма степеней

2) , то пункт 1)

3) , то a+bxⁿ=t^s, где s – общий знаменатель m и n.

4) , то a+bxⁿ=t^sxⁿ, где s- знаменатель p.

6) ∫R(x, )dx, то x=acost,x=assint

∫R(x, )dx, то x=a/cost, x=a/sint

∫R(x, dx, то x=atgt, x=arctg,