5. Степенная функция

Степенная функция в действительной области

1 . у = х^2m (т — некоторое фиксированное натуральное число). Тогда

а) область существования: (— ;+ );

б) область изменения: [0, + );

в) функция ограничена снизу: у >=0;

г) функция принимает наименьшее значение у = 0 при x = 0;

д) функция не является периодической;

е) функция четная;

ж) функция не является монотонной на всей области существования, но убывает на промежутке (— , 0] и возрастает на промежутке [0, + );

з) точка (0, 0) — единственная точка пересечения с осями координат.

Графики функций у = x^2, y = х⁴, у = х⁶ изображены на рис. 98.

2. у = х^2m-1 (т — некоторое фиксированное натуральное число). Тогда

а) область существования: (— +

б) область изменения: (— ; + );

в) функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу;

г) функция не принимает ни наибольшего, ни наимень­шего значения;

д) функция не является периодической;

е) функция нечетная;

ж) функция возрастает на всей области существования;

з) точка (0, 0) — единственная точка пересечения с осями координат.

Графики функций у = х, у = x³, y = х⁵ изображены на рис. 99.

3. у = х ^-2m (m — некоторое фиксированное натуральное число).

Тогда

а) область существования: (— , 0) (0, + );

б) область изменения: (0, + );

в) функция ограничена снизу: у > 0;

г) функция не принимает ни наибольшего, ни наимень­шего значения;

д) функция не является периодической;

е) функция четная;

ж ) функция не является монотонной на всей области существования, но возрастает на промежутке (— , 0) и убывает на промежутке (0, + );

з) точек пересечения с осями нет.

Г рафики функций у = ^-2, у = х^--4 изображены на рис. 100.

3. y = х^-2m+1 (т — некоторое фиксированное натураль­ное число).

Тогда

а) область существования: (— , 0) и (0, + );

б) область изменения: (— , 0) и (0, + );

в) функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу;

г) функция не принимает ни наибольшего, ни наимень­шего значения;

д) функция не является периодической;

е) функция нечетная;

ж) функция не является монотонной на всей области существования, но убывает на промежутке (— , 0), кроме того, она убывает на промежутке (0, + );

з) точек пересечения с осями координат нет. Графики функций у = х^-1 , у = х ^-3, у = х^-5 изображены

на рис. 101.

5 . у = х^а (а — фиксированное положительное нецелое число).

Тогда

а) область существования: [0, + );

б) область изменения: [0, + );

в) функция ограничена снизу: у 0;

г) функция принимает наименьшее значение у = 0 при х = 0;

д) функция не является периодической;

е) функция не является ни четной, ни нечетной;

ж) функция возрастает на всей области существования;

з) точка (0, 0) — единственная точка пересечения с осями координат.

Г рафики некоторых функций изображены на рис. 102.

6. у =x^-a (а — фиксированное положительное нецелое число). Тогда

а) область существования: (0, + );

б) область изменения: (0, + );

в) функция ограничена снизу: у > 0;

г) функция не принимает ни наибольшего, ни наимень­шего значения;

д) функция не является периодической;

е) функция не является ни четной, ни нечетной;

Графики некоторых функций изображены на рис. 103

ж) функция убывает на всей области существования;

з) точек пересечения с осями координат нет.

Опр.функция у=х^α, где α∊R, х>0 называется степенной функцией с показателем α.

Т. Степенная функция непрерывна при всех х>0.

Д-во: х^α= - композиция непрерывной функции у=е^х(показательной) и u=αlnx(произведение константы на логарифм ф-ции)=> х^α непрерывна по теореме о непрерывности композиции функций.

Замеч. Если х<0, то в некоторых случаях степенная функция может быть определена: α∊Q, α>0, D(х^α)=R

α<0, D(х^α)=R\{0}

Степенная функция в комплексной области

степенная функция—это функция вида

(3)

Она определена для всякого комплексного 0 и любого комп­лексного . Как следует из определения (3), степенная функция многозначная в силу многозначности Ln z. Каж­дому значению независимой переменной z, как правило, соответ­ствует счетное множество значений степени . Если в правой части (3) брать определенную ветвь Ln z, то будем получать соот­ветствующую ветвь степенной функции

[a (Ln z)_k] (k=0,±1, ± 2, ...). (4)

В частности, если взять главное значение логарифма (& = 0), то получим главное значение степени

(5)

Отдельные ветви степенной функции, то есть однозначные функ­ции (4), являются регулярными функциями на плоскости с разре­зом вдоль отрицательной части вещественной оси (отображение областей), так как их можно там дифференцировать по обычному правилу. Например, при диф­ференцировании однозначной функции (5) получаем, используя пра­вило

Функция многозначная,

а) Пусть . Исходя из определения (3), получаем:

=

Полученное выражение не содержит k и, следовательно, функция однозначна.

б) Пусть силу определения (3) получаем:

= (16)

Из последнего выражения видно, что при изменении k от 0 до n-1 будем получать разные числа в скобках.

При всех , отличных от n и , где mиn целые, формула (3) определяет бесконечнозначную функцию.

Если в качестве области определения радикала выбрать Риманову поверхность радикала, то функция станет однозначной аналитичной всюду функцией за исключением начала координат.

Риманова поверхность радикала:

Рассмотрим n экземпляров комплексной плоскости, расположенных один над другим так, что бы оси координат совпадали и разрежем их вдоль отрицательной оси, верхнюю половину назовём правым берегом, а нижнюю – левым. Склеим левый берег 1с с правым берегом 2с, левый берег последнего с левым берегом первого. Эта конструкция есть Риманова поверхность радикала.