6. Показательная функция

у=а^х, a>0, x - называется показательной функцией с основанием а, а≠1.

Св-ва:

1. при a>1, y=a^x – строго возр., при 0<a<1 функция строго убывает.

2. а^х+у=а^ха^у, для любых х, у из R

3. (а^х)^у=а^ху, для любых х, у из R

4. y=a^x непрерывна на

Д-во

2. а^х+у= , где , , r_n, t_n

а^х+у= .

а ) область существования: (— ; +

б) область изменения: (0, + );

в) функция ограничена снизу: у > 0;

г) функция не принимает ни наибольшего, ни наимень­шего значения;

д) функция не является периодической;

е) функция не является ни четной, ни нечетной;

ж) если а> 1, то функция у = a^x возрастает на всей области существования; если 0 < а < 1, то функция у = a^x убывает на всей области существования;

з) точка (0, 0) — единственная точка пересечения с осями координат.

Графики некоторых показательных функций изображе­ны при а > 1 на рис. 104, при 0 < а < 1 на рис. 105.

Разложение экспоненты в степенной ряд:

по формуле Тэйлора:

f(x)=e^x, f⁽ⁿ⁾(x)=e^x, x₀=0, тогда f(0)=1, f⁽ⁿ⁾(0)=1,

ф-ла Эйлера: cosφ+isinφ=e^iφ,

Док-во:

z=ρe^iφ, ρ-модуль комплексного числа.

z₁z₂= ρ₁e^iφ1 ρ₂e^iφ2

, k приним.знач от 0 до n-1.

Если всякому компл.числу z из нек-ого мн-ва D по нек-му з-ну поставл. в соотв-ие одно или неск-ко компл. чисел, то говорят, что на D задана компл-но-значная ф-ия комплексного переменного.

Задать ф-ю компл.перем. – то же самое, что задать 2 ф-ии 2-х компл.перем.

Ф-ия наз-ся однолистной на нек-ом мн-ве G, если из усл.z₁≠z₂ следует, что f(z₁) ≠f(z₂).

Сумма ряда наз-ся экспонентой и обозн-ся expz. Вместо слова экспонента будем исп-ть название показат.функция и обознач. e^z.

Св-ва:

1. D(exp)=C

2. ф. e^z целая аналитическая ф-я (Аналитич.ф.наз-ся целой, если она аналит.во всей компл.пл-ти. Ф-ия аналит.в обл-ти, если она дифференц-ма в этой обл)

3. т.к. (e^z)^’≠0, то дан.ф-ия осущ-ет конформное отображ.всей компл.пл-ти на себя.

4. Справедлива теорема слож. e^z1e^z2=e^z1+z2

5. Справедлива ф-ла Эйлера cosφ+isinφ=e^iφ

6. периодич. ф-ия с периодом 2πi, т.е. e^z+2πi=e^z

7. ф.экспонента не однолистна в C.

Найдем обл.однолистности: z₁≠z₂ → e^z1=e^z2

отсюда . Этому усл.удовл. любые 2 числа, являющ. концами вертикального отрезка длиной 2π. Любая горизонт.полоса шириной 2π явл-ся обл-ю однолистности данной ф-ции.

Показ-ая ф. явл.бесконечнолистной ф-ей.

Вопрос 7. Логарифмическая функция в действительной и комплексной области.

В действительной области

Опр: функция обратная к показательной функции а^х, а>0, a≠1 наз-ся логарифмической. , a>0,a≠1.

Т.: функция , a>0,a≠1 определена для x>0 и является на этом мн-ве строго возрастающей при a>1 и строго убывающей при a<1и непрерывной.

Д-во: докажем, что мн-во значений ф-ции будет положит.

a>1 в силу непрерывности и в силу строгого возрастания, следует ли, что имеет место

т.к. a>1, то а-1=α>0, тогда а=1+ α. Рассмотрим .

По формуле бинома Ньютона

,след-но,

, след-но, (*)-доказано, след-но, .

0<a<1, , b>1: , .

свойства:

а ) область существования: (0, + );

б) область изменения: (— ; + );

в) функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу;

г) функция не принимает ни наибольшего, ни наимень­шего значений;

д) функция не является периодической;

е) функция не является ни четной, ни нечетной;

ж) если а > 1, то функция у = log^x возрастает на всей области существования; если 0 < а < 1, то функция у = log_ax убывает на всей области существования;

з) точка (1, 0) — единственная точка пересечения с осями координат.

Графики некоторых логарифмических функций изобра­жены при а > 1 на рис. 106, при 0 < а < 1 на рис. 107.

Строгое возрастание, убывание и непрерывность вытекает из леммы: если функция f(x) строго возрастает (убывает) на отрезке Х-области значений, то обратная функция также строго возрастает (убывает) на отрезке У; и теоремы: пусть функция f(x) непрерывна, строго монотонна на [a,b], тогда обратная функция: 1) определена, однозначна на [f(a),f(b)], 2)строго монотонна на [f(a),f(b)], 3) непрерывна на [f(a),f(b)].

В комплексной области

Опр.: функция наз логарифмической.

1. D(f)=C\{0}

2. |z|e^iArgz=e^ue^iv

W=u+iv=ln|z|+iArgz,

Lnz:= ln|z|+iArgz (1)

, Ln z=ln|z|+i(arg z+2 k) (2)

ln|z|=ln|z|+iarg|z| (3) – главное значение логарифма.

Обозн. и назыв. соотв. k-ми ветвями логарифма.

Для логарифмической функции сущ. Риманова поверхность, на кот. эта функция становится однозначной: рассм. счетное мн-во экземпляров компл пл-ти, расположенных одна над другой, так чтобы корд оси совпадали и разрежем все экземпляры С вдоль отриц части действ оси и склеим все плоскости м-ду собой по по правилу: нижний берег первого листап с верхним берегом второго листа, нижний берег второго листа с верхним берегом третьего и т.д. Единств.,что невозможно склеить первый и последние листы, т.к. их не существ. Получ поверхность наз римановой поверхностью логарифмической функции, на ней функция однозначна. След заметить, что каждой гориз прямой вида +2 kбудет соответствовать склеенный луч. При прохождении пути ч/з линию склейки мы проходим от одной ветви логарифмической ф-ции к следующей.

Логарифм 0 не определен