4. Метрические пространства. Непрерывные отображения метрических простраств. Полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений.
Опр.1: Пусть М-произвольное множество. Метрика на множестве М-это функция ρ:М×М → R0=[0;+∞] всюду определённая и обладает свойствами:
10. ρ(x,y)=0 ↔ x=y – свойство невырожденности
20. ρ(x,y)= ρ(y,x) – свойство симметрии
30. ρ(x,z)≤ ρ(x,y)+ ρ(y,z) – неравенство треугольника.
(М, ρ) – метрическое пространство. М – носитель метрики.
Сходимость в метрических пространствах:
Опр.1:Окрестность т.x в метрическом пр-ве (M, ρ) – это мн-во UE(x):={yϵM│ ρ (x;y)<E}
Опр.2:Метрическое
пространство (M,
ρ) – ограниченно, если 
.
Опр.3:Мн-во
A
M
называется ограниченным в (M,
ρ), если оно целиком содержится в некот-ой
окр-ти какой либо точки этого пр-ва, т.е.
(
)(
M)A
UE(x)
(содержится в шаре)
Послед-ть (xn)(
в (M,
ρ) называется огр-ой, если (xn)
ограничено, т.е. (
)(
M)(
)
ρ(xn,x)<E
Опр.4:Послед-ть
(xn)
в (M,
ρ) назыв-ся сх-ся , если она имеет предел
xϵM,
т.е. 
(
)
(
)
)(
)
ρ(xn,x)<E
или xnϵUE(x)
Предл.1: Если (xn) в (M, ρ) сх-ся, то она огр-на в (M, ρ).
Предл.2: Если послед-ть в метрич-ом пр-ве сх-ся, то она имеет ед.предел.
Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах:
(M, ρ) – метрическое пр-во; мн-во А М, x0ϵМ
Опр.1: x0 называется для А
- внутренней точкой,
если (
Uδ(x0)
A
- точкой прикосновения,
если (
)
Uδ(x0)
А≠
- предельной точкой,
если (
)
Uδ(x0)
{
x0}
А≠
- изолированной точкой, если ( Uδ(x0) А={ x0}
- граничной точкой,
если (
)
Uδ(x0)
А≠
пересекается с А, но не содержится в А
целиком Uδ(x0)
А
Опр.2:Мн-во внутренних точек мн-ва А называется его внутренностью – А0
- точек прикосновения
– замыкание - 
- предельных точек,
производное мн-во - 
- граничных точек, граница А – гА
Из опр.1-2 ясно:
А
гА=
;
А\ гА= А0;
\
А0=
гА; А0
А
;
;
=
{xϵM│x-изолир-е
т.А}.
Опр.3: Мн-во называется открытым, если совпад.со своей внутр-ю, замкнутым, если совп.с замыканием, совершенным – если совпад.со своим производным мн-вом. Мн-во наз-ся всюду плотным (в пр-ве М), если его замыкание есть всё мн-во М→ =М
Предл.1:т.x0ϵ
(
(xn)│
xnϵА)
Док-во: 1) Пусть
x0ϵ
,
возьмём послед-ть δn=
и для каждого δ найдём в соотв-и с опр.
предельной т.
x1ϵ U1(x0) А, x1≠x0
x2
ϵ
(x0)
А,
x2≠x0,
x2≠x1
…
ρ(xn;x0)<
,
т.е. 
,
2) Пусть x0=limxn , xnϵA, тогда ( ) ( ) )( ) ρ(xn;x0)<E, т.е. xnϵ Uδ(x0) А, xn≠x0, т.е. x0ϵ .
Предл.2:1)Объединение любого семейства открытых мн-в – открыто;
2)Пересеч. люб.сем-ва замкнутых мн-в – замкнуто;
3)Объедин. конечного сем-ва замкн-ых мн-в-замкнуто;
4) Пересеч. конечного сем-ва откр-х мн-в – открыто
Предл.3:Если А – открыто в (М, ρ), то М\А - замкнуто и наоборот.
Теорема1: (характ-ка открытых мн-в на числовой прямой)
Если А
R
ограничено и открыто в (R;
ρ), то А
представимо в виде объединения не более
чем счётного сем-ва непересек-ся
интервалов (ak;bk)
(
an;bn)=
k≠n
След.1: (характер замкнутых мн-в на числовой прямой)
Если А R огр-но и замкнуто, то оно получ-ся из отрезка, удалением не более чем счётного сем-ва непересек-ся интервалов.
След.2: (хар-ка совершенных мн-в на числ. прямой)
Если А R огр-но и совершенно, то оно получ-ся из отрезка удалением не более чем счётного сем-ва непересек-ся интервалов без общих концов.
Полные метрические пространства:
Опр.1:
Пусть (М, ρ) – произвольное метрическое
пространство, (xn)-последовательность
точек множества М, (xn)
– фундаментальная, если (
)(
)(
)
ρ(xn,
xm)<ε
Числовая послед-ть сх-ся ↔ когда она фундаментальна.
Предл.1: Если (xn) в (М, ρ) сходится, то она фундаментальная.
Док-во: xn – сх-ся => lim xn = x ϵ М ↔ (по опр.предела послед-ти) ( )( )( ) ρ(xn, x)<ε
Для n, m > N, ρ(xn, xm)≤ ρ(xn, x)+ ρ(x, xm)<E+E=2E – фундаментальна.
Обратное, в произв.метрич. пр-ве не верно.
Опр.2: (М, ρ) – метрическое пространство называется полным, если в нём любая фундаментальная послед-ть сходится.
Пример: 1. Пр-во (R, ρ), ρ(x,y)=│x-y│- полное.
2. ((0;1); ρ) – не полное, xn= эта послед-ть сх-ся в (R, ρ) => она фундам-на в смысле этой метрики, но lim xn = 0 не ϵ (0;1), т.е. в (0;1) xn не явл-ся сх-ся.
Предл.2:
Если М1
(М1,
ρ) – полное, то мн-во М1(т.е.его
носитель) замкнуто в (М, ρ), т.е. лишь
замкнутая часть метрич-го пр-ва может
быть полной.
Док-во: рассм.
послед-ть точек М1,
кот. фундам-на, но не сх-ся: если
≠M1(замыкание
не совп.с самим мн-вом), 
\
M1
=> (
xn│
xnϵ
M1)
=x,
значит xn
в смысле большого пр-ва явл-ся сх-ся =>
и фундаментальной, предел x
не ϵ M1,
то в смысле (М1,
ρ) (xn)
– не сх-ся => (М1,
ρ) – не полное.
Предл.3:
Если М1
(М, ρ) – полное, а М1
– замкнуто в (М, ρ), то (М1,
ρ) – полное пр-во.
Док-во: пусть (xn) – фундам.послед-ть в (М1, ρ) => (xn) фундам.в (М, ρ) => (xn) сх-ся в смысле (М, ρ) в некот т.x, тогда т.xϵ = М1, т.е. (xn) сх-ся в (М1, ρ).
Пример: ([0;1], ρ) –
полное, т.к. это часть большого пр-ва
(т.е. [0;1]
R),
а (R,
ρ) – полное и 
=[0;1].
Сжимающие отображения метрических пространств:
Опр.1:
Пусть f:M1→M2
– отображение(т.е.всюду опред.), (М1,
ρ1),
(М2,
ρ2)
– метрические пр-ва. f
– сжимающее отобр-е, если найдётся число
(
),
что (
)
ρ2(f(x1),f(x2))(расст.между
их образами) ≤ k·
ρ1(x1,x2)(расст.между
прообразами).
Теорема: «Принцип сжимающих отображений»
В полном метрическом пр-ве любое сжимающее отображение имеет ровно одну неподвижную точку (f(x)=x)
Док-во: 1) больше одной точки быть не может.
Докажем, что если x1, x2 – неподвижн.т.f – сжимающего отобр.М→М, то x1=x2. f(x1)= x1, f(x2)= x2.
ρ (f(x1), f(x2)) ≤ k· ρ(x1,x2), т.е. ρ(x1,x2) ≤ k· ρ(x1,x2)
(1-k)· ρ(x1,x2)≤0
kϵ(0,1) => 1-k >0 => ρ(x1,x2)≤0
ρ(x1,x2)=0, x1=x2 в силу св-ва невырожденности метрики.
Рассуждение верно в любом метрическом пр-ве, не обязат-но полном.
2) меньше одной точки быть не может.
Построим неподвижную точку сжимающего отображения f:M→M, ((М, ρ)полное).
Возьмём произвольную точку x0ϵМ, положим x1=f(x0), x2=f(x1), … , xn+1=f(xn), … - ∞ послед-ть xn, она будет сх-ся и её lim – неподвижн.точка.
Проверим, что (xn) – фундам-я послед-ть:
Оценим расст-е между двумя послед-ми:
ρ (xn, xn+k) = ρ (f(xn-1), f(xn+k-1))≤ k·ρ (xn-1, xn+k-1), kϵN
ρ (x2, x1) = ρ (f(x1), f(x0))≤ k·ρ (x1, x0), ρ (x1, x0) = d.
ρ (x3, x2) = ρ (f(x2), f(x1))≤ k·ρ (x2, x1)≤k·kd=k2d
ρ (x4, x3) = ρ (f(x3), f(x2))≤ k·ρ (x3, x2)≤k·k2d≤k3d
…
ρ (xn+1, xn) ≤knd …
ρ (xn,
xn+l)≤
ρ (xn,
xn+1)+
ρ (xn+1,
xn+2)+…+
ρ (xn+l-1,
xn+l)≤knd+
kn+1d+…+
kn+l-1d<
knd(1+k+…+
kl-1+…)=
knd
<E,
при n>N,
lϵn.
(xn) – фундам-я послед-ть +(М, ρ) – полное метрическое пр-во => (xn) – сх-ся в (М, ρ), т.е. имеет вид lim, сх-ся к т.x.
Проверим, что x будет неподвижной точкой нашего отобр-я f, т.е. f(x)=x.
f
– сжимающее отображение => 
=f(x),
т.е. отобр. f
– непрерывно
Действительно, ρ (f(xn), f(x))≤ k·ρ (xn, x)→0 при n→∞; xn+1= f(xn)
Перейдём к пределу:
,
x=f(x).
ч.т.д.
Функции в метрических пространствах.
Опр. Множество наз-ся компактным, если из любой её последовательности а можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Функция 
,
метрические пространства с метриками
О1. 
называется непрерывной в т. 
,
если 
она непрерывна в точке 
f
– равномерно
непрерывная на М1, если (
)
Если f
непрерывна на M1,
то 
Если f
– равномерно непрерывна на М1, то 
Если f
– равномерно непрерывна на М1, то 
не зависит от х2.
Теорема 1.
Если (М1,
компактно, f – непрерывна на М1, то
f-равномерно
непрерывна на М1.
Теорема 2.
непрерывна на М2, если прообраз любого
открытого множества в (M2,
является открытым множеством в (М1,
Аналогично с замкнутым прообразом.
Теорема 3. , если М1 – компактно, то прообраз М2 – также компактно.
Теорема 4. Непрерывный образ связного множества есть связное множество.