1) Основные теоремы дифференциального исчисления

T Ферма: Пусть f(x) определена в некотором промежутке X и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее(наименьшее) значение. Если существует конечн. f ’(c) , то f ’(c)=0

Д:

Пусть f(c)=max

Предположим, что

1. f ’(c)>0

2. 

Значит f (c) max

T Дарбу: Если f(x) имеет кон.производную на [a,b], то f ’(x) принимает промежуточное значение между f ’(a) и f ’(b)

T Роля: Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b] , f(x) – дифф-ма по крайней мере в (a,b) и f (a) = f (b), тогда существует с такое: a<c<b : f ’(c)=0

T Лагранжа: Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b] , f(x) – дифф-ма на (a,b)

тогда существует с такое: a<c<b :

T Коши: Пусть f(x) и g(x) определены и непрерывны на [a,b]; дифференцируемы на (a,b); на (a,b), тогда существует с такое: a<c<b :

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке положительна (f'(x)>0), то на этом промежутке функция возрастает.

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке отрицательна (f'(x)<0), то на этом промежутке функция убывает.

Эти условия являются достаточными условиями возрастания (убывания функции).

2) Условие постоянства функции

Т1: Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b] и дифф-ма на (a,b), для того чтобы функция f(x) была постоянной на заданном промежутке необходимо и достаточно, чтобы f ’(x)=0 для

Д:

1. Необходимость

Если f(x) – постоянна, то f ’(x)=0

2. Достаточность

f ’(x)=0 ( )

Выберем и рассмотрим [a, x] по теореме Лагранжа :

постоянна на [a,b]

3) Условие монотонности функции

Т2: (Условие нестрогой монотонности)

Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b] и дифф-ма на (a,b), для того чтобы функция f(x) была на [a,b] возрастающей (убывающей) в широком смысле необходимо и достаточно:

Т3: (Условие строгой монотонности)

Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b] и дифф-ма на (a,b), для того чтобы функция f(x) строго возрастала (убывала) необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1)

2) ни в каком промежутке, составляющей часть [a,b]

4)Экстремумы функции одной переменной

Говорят, что функция f(x) имеет в точке x₀ max(min) , если вып-ся неравенство:

Максимум и минимум на-ся экстремумами ф-ции. Если неравенство строгое. то говорят о строгом max(min)

Т(Необходимое условие экстремумов) Если функция f(x) определена , непрерывна и дифф-ма на (a,b) и точка x₀ явл-ся точкой экстремума функции, то f ‘(x₀)=0

Т (Достаточное условие экстремумов) Пусть f(x) обладает конечной производной в некоторой окрестности и сохраняет определенный знак справа и слева от точки x_0, тогда если 1) f ‘(x)>0 при и f ‘(x)<0 при (f ’ с + на -), то f(x) имеет в точке x₀ max 2) f‘(x)<0 при и f ‘(x)>0 при , то f(x) имеет в точке x₀ min; 3) f‘(x) не меняет знак при переходе, то в точке x₀ нет экстремума

Т (2 достаточное условие экстремума функции) Пусть f(x) имеет в окрестности стационарной точки x₀ , тогда функция f(x) имеет min в точке x₀ , если вторая производная в точке x₀>0 и max в точке x_0, если в точке x₀<0

Т(3 достаточное условие экстремума функции) Пусть некоторое нечетное число. Пусть f имеет n первых производных в окружности стац.точки и производную n+1 порядка в самой точке , и пусть первые n первых производ. в точке x₀=0, тогда функция f(x) имеет min в точке x₀ , если f⁽ⁿ⁺¹⁾<0

Т (Экстремумы функции , не дифференцируемые в точке) Пусть f(x) дифф. всюду в некоторой окрестности точки x₀, за исключением точки x₀, тогда, если слева от точки x₀ f ‘(x)<0 (>0) , а справа от точки x₀ f ‘(x)>0 (<0), то в точке x₀ имеет min(max)