Вопрос 2.

2. Предел числовой последовательности.

1) Предел числовой последовательности.

Опр. Функция, заданная на N наз последовательностью. Последовательность задана, если каждому поставлено в соответствие .,

Опр. Число а наз. пределом последовательности , если

Не всякая последовательность имеет предел. Последовательность, имеющая конечный предел – сходящаяся, не имеющая – расходящаяся.

2) бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Опр. Сходящаяся последовательность, предел которой равен 0 наз. бесконечно малой

Опр. Последовательность наз. бесконечно большой, если

3) Теоремы о пределах.

Теорема. Сходящиеся последовательности имеют лишь один предел.

Д-во. Пусть и , .

Т.к.

в содержится конечное число а противоречие.

Теорема (необходимое условие сходимости последовательности) если последовательность сходится, то она ограничена (обратное неверно).

Теорема (достаточное условие сходимости последовательности) если сходится и , то тоже сходится и .

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

Теорема 1. Если и сходятся, то сходится и последовательность и

Д-во. - беск. малая посл-сть

- беск. малая посл-сть

Теорема 2. Если и сходятся, то сходится и посл-сть и .

Теорема 3. Пусть и сходятся, , , тогда сх-ся посл. ,

Теорема. Если – беск. малая, то – беск. большая, если – беск. большая, то – беск. малая.

Теорема (принцип сжатой последовательности или правило двух милиционеров):

Если при то .

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

4) Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из всякой бесконечно ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Д-во. – огранич.,т.е. . Отрезок : и выберем тот, который содержит бесконечно много членов данной последовательности

.

и выбираем отрезок, который содержит бесконечно много членов последовательности. и т.д.

на к-м шаге:

Последовательность вложенных отрезков – стягивающаяся, т.к. при .

По принципу стягивающихся отрезков сущ-ет единственная точка принадлежащая всем отрезкам последовательности:

Выделим из подпоследовательность: , , …,

- подпослед-сть .

, по теореме о сжатой последовательности сх-ся и . ч.т.д.

Опр. Число с, являя. пределом некоторой подпоследовательности последовательности, наз. частичным пределом.

5)Критерий Коши. Для того, чтобы сходилась необх. и дост., чтобы выполнялось условие:

Д-во. 1) – сх-ся и

2)

- ограниченная.

По теореме Больцано-Вейерштрасса сущ-ет - сход., .

. N – наибольшее из и , тогда для , т.е. - сходится.

Вопрос 3.

Опр. Если к каждому элементу х из поставить в соответствие у из У, то говорят, что задано отображение во множество У.

Пусть и две функции. Тогда их композицией называется функция , определённая равенством:

.

Опр.Х - числовое множество. Отображение, сопоставляющее каждому элементу х из Х число у, наз. числовой функцией, заданной на числовом множестве.Х – область определения функции. У – область значений функции.

1. монотонные функции.

Опр.Функция наз. строго возрастающей на , если .

Опр. Функция наз. строго убывающей на , если

Опр. Функция наз. возрастающей в широком смысле(неубывающей), если

Опр. Функция наз. убывающей в широком смысле(невозрастающей), если