7.4. Вихревое движение
7.4.1. Сохранение циркуляции скорости. Теорема Томсона
Циркуляцией некоторого вектора А по замкнутому контуру ( l ) называют интеграл вида:
(7.4.1)
где dl элемент контура интегрирования.
Рассмотрим изменение
во времени циркуляции скорости
баротропного движения идеальной
жидкости в поле потенциальных сил по
некоторому индивидуальному контуру,
охватывающему одни и те же индивидуальные
частицы жидкости. В процессе движения
контур может деформироваться, т.е.
изменять свою форму и длину. Имеем:
(7.4.2)
т.к.
элемент длины контура
может быть представлен как разность
радиусов векторов близких точек контура,
т.е.
Проведем дифференцирование под знаком
интеграла:
(7.4.3)
Известно, что интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала некоторой функции равен нулю. Поэтому второе слагаемое в (7.4.3) равно нулю. В уравнении (7.4.3) полную производную от скорости по времени можно заменить, используя уравнение Эйлера для баротропного движения в поле потенциальных сил (7.1.5). Тогда, если воспользоваться формулой Стокса, получим
(7.4.4)
так как
в соответствии с известным соотношением
из векторной алгебры
Таким образом, результат (7.4.4) является основным содержанием теоремы Томсона, которая формулируется следующим образом:
Циркуляция скорости движения идеальной жидкости по замкнутому контуру, охватывающему одни и те же частицы, в поле потенциальных сил при баротропных движениях сохраняется, т.е. она не зависит ни от координат, ни от времени.
Из уравнения (7.4.4) следует
(7.4.5)
Рассмотрим линию
тока. В некоторой ее точке построим
малый индивидуальный (
)
контур площадью
,
охватывающей эту линию тока. Очевидно,
при своем стационарном движении контур
будет всегда охватывать эту линию тока.
Предположим, что в какой-то её точке
.
Тогда, согласно теоремы Томсона ротор
скорости будет равен нулю и во всех
последующих точках линии тока, поскольку
по определению линии тока такой контур
не может быть сжат в точку при своем
движении, т.к.
,
а
в (7.4.5) должен сохраняться, т.е. равняться
нулю при любой ориентации
.
Если движение идеальной жидкости в
некоторый момент времени потенциально,
например, начинается из состояния покоя
,
то оно будет потенциальным и во все
последующие
моменты времени движения.
Однако эти рассуждения имеют ограниченную применимость даже и для идеальной жидкости. Они, очевидно, неприменимы для линий тока, проходящих в непосредственной близости к поверхности обтекаемого тела, хотя бы потому, что для такой линии тока невозможно провести замкнутый контур, охватывающий ее, который при своем движении не пересекал бы поверхность тела. Скорость движения идеальной жидкости на поверхности обтекаемого тела, а также на некоторых поверхностях в жидкости за ним может претерпевать разрыв, что означает появление на этих поверхностях ротора скорости, несмотря на то, что набегающий поток может быть потенциальным.
Для реальных же жидкостей, обладающих вязкостью, теорема Томсона не имеет места в силу непотенциальности вязких сил, действующих в жидкости. И если вдали от тела действие этих сил может практически не проявляться, то вблизи поверхности обтекаемого тела они могут играть существенную роль. Поэтому, если в жидкости образуются вихри, то они образуются, прежде всего, вблизи поверхностей обтекаемых тел.