
- •Содержание
- •7. Идеальная среда
- •7.1. Уравнения движения для сжимаемой и несжимаемой идеальной среды
- •7.1.1. Замкнутая система уравнений сохранения для идеальной среды
- •7.1.2. Движение несжимаемой среды
- •7.1.3. Изоэнтропическое движение
- •7.1.4. Граничные и начальные условия
- •7.2. Уравнение Бернулли
- •7.2.1. Потенциальное движение идеальной среды
- •7.2.2. Линии тока и траектории. Трубка тока
- •7.2.3. Скорость истечения идеальной несжимаемой жидкости из сосуда
- •7.2.4. Распределение давления в трубе переменного сечения
- •7.2.5. Кавитация
- •7.2.6. Трубка Пито
- •7.3. Влияние сжимаемости среды
- •7.4. Вихревое движение
- •7.4.1. Сохранение циркуляции скорости. Теорема Томсона
- •7.4.2. Вихревая трубка. Теорема Гельмгольца
- •7.4.3. Прямолинейная одиночная вихревая нить
- •7.4.4. Примеры вихревых движений
- •7.5. Потенциальное движение
- •7.5.1. Потенциал скорости. Граничные условия
- •7.5.2. Функция тока для плоского движения идеальной среды
- •7.5.3. Свойства функции тока
- •7.6. Некоторые методы решения газодинамических задач для идеальной жидкости
- •7.6.1. Метод конформных отображений
- •7.6.2. Обтекание плоской пластинки идеальной несжимаемой жидкостью
- •7.6.3. Обтекание цилиндра идеальной несжимаемой жидкостью
- •7.6.4. Распределение давления на поверхности цилиндра. Парадокс Даламбера
- •7.7. Суперпозиция потенциальных потоков
- •7.7.1. Обтекание бесконечного цилиндра с циркуляцией
- •7.7.2. Распределение давления. Подъемная сила
- •7.7.3. Эффект Магнуса
- •7.8. Графоаналитический метод
- •7.8.1. Постановка задачи и сущность метода
- •7.9. Движение бесконечного цилиндра в идеальной несжимаемой среде
- •7.9.1. Постановка задачи и методика решения
- •7.9.2. Распределение давления около движущегося цилиндра
- •7.9.3. Сила сопротивления движущегося шара. Присоединенная масса
- •7.10. Численные методы в механике сплошных идеальных сред
- •7.10.1. Введение
- •7.10.2. Краткая характеристика численных методов
- •7.10.2.1. Метод конечных разностей
- •7.10.2.2. Метод интегральных соотношений
- •7.10.2.3. Метод характеристик
- •7.10.2.4. Метод частиц в ячейках
- •7.10.2.5. Метод конечных элементов
- •7.10.2.6. Метод дискретных вихрей
- •7.10.2.7. Статистические методы
- •7.10.3. Основы численных методов
- •7.10.3.1. Задача интерполирования
- •7.10.3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •7.10.3.3. Погрешность интерполирования
- •7.10.4. Вычисление интегралов
- •7.10.4.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •7.10.4.2. Формула трапеций
- •7.10.4.3. Формула Симпсона
- •7.10.5. Численное дифференцирование
- •7.11. Применение метода потоков в механике сплошных идеальных сред
- •7.11.1. Общие замечания
- •7.11.2. Описание метода потоков
- •7.11.3. Конечно – разностные схемы метода потоков
- •7.11.3.1. Постановка и решение задачи
- •7.11.3.2. Обтекание прямоугольного выступа эйлеровым газом
- •7.11.3.3. Этапы вычислительного цикла
- •7.11.4. Результаты расчета
- •Литература:
7.3. Влияние сжимаемости среды
Как видно из соотношения
(7.2.15), давление в критической точке
больше, чем давление жидкости вдали от
тела, на величину скоростного напора
.
Таким образом, индивидуальная частица
газа или жидкости при движении по
критической линии тока испытывает
сжатие. При этом её плотность увеличивается.
Это явление изменения плотности будет
наблюдаться и для частиц, движущихся
по другим линиям тока. Однако наиболее
значительное изменение, очевидно, будет
наблюдаться для частиц на критической
линии тока. Поэтому, если учесть
сжимаемость среды, то давление в
критической точке должно иметь некоторое
другое значение, учитывающее, что
плотность среды вдали от тела и в
критической точке не равны , как это
предполагалось при выводе формулы
(7.2.15).
Оценим влияние сжимаемости среды на давление в критической точке. Если среда несжимаема, то давление в критической точке определяется согласно (7.2.15). Для сжимаемой среды необходимо воспользоваться уравнением Бернулли в форме (7.2.2) в отсутствии поля тяжести и, учитывая изменение энтальпии единицы массы, запишем его для критической линии тока в виде
(7.3.1)
Будем полагать, что сжатие индивидуальных частиц, движущихся по критической линии тока с достаточно большой скоростью, происходит адиабатически, т.е. без теплообмена с другими частицами. В этом случае, как было показано в п.7.1.1, имеем
Так как адиабатическое сжатие индивидуальной частицы на критической линии тока описывается уравнением Пуассона (или уравнением адиабаты), то очевидны следующие преобразования при вычислении энтальпии h единицы массы:
(7.3.2)
Здесь
показатель адиабаты. Интегрируя с
точностью до несущественной произвольной
постоянной интегрирования, получим:
(7.3.3)
Подставляя
значение
(7.3.3) в уравнение Бернулли (7.3.1), имеем
(7.3.4)
Отношение
плотностей
возможно найти из уравнения Пуассона,
подстановка которого в (7.3.4) позволяет
определить
:
(7.3.5)
Полагая, что второе слагаемое мало по сравнению с единицей, представим (7.3.5) как бином Ньютона:
.
Следовательно,
давление
сжимаемой среды в точке полного
торможения равно:
(7.3.6)
Сравнивая полученное выражение с формулой (7.2.13), можно сделать следующее заключение: если справедливо соотношение
(7.3.7)
то формула (7.3.6) переходит в формулу (7.2.15) для несжимаемой среды. Таким образом, при выполнении неравенства (7.3.7) необходимо среду (жидкость, газ) рассматривать несжимаемой.
Как показано в п.6.12,
скорость
адиабатического распространения
продольных волн сжатия в ньютоновских
средах равна
.
Но согласно (5.2.7) адиабатический модуль
,
поэтому имеем:
(7.3.8)
Для
идеальной среды в адиабатическом
процессе производную
можно найти из уравнения адиабаты
,
после подстановки которой в (7.3.8) получим:
(7.3.9)
Скорость называют скоростью звука, т.е. скорость звука является скоростью распространения продольных волн сжатия в среде. Тогда неравенство (7.3.7) можно записать в следующем виде
(7.3.10)
Таким образом, если
скорость движения среды значительно
меньше скорости звука в ней, то ее можно
рассматривать как среду несжимаемую.
Например, если воздух (
м/сек) движется со скоростью
=
70 м/сек, то максимальная поправка к
давлению в критической точке составит
%,
что можно не учитывать в большинстве
инженерных расчётов и теоретических
рассмотрений.