7.3. Влияние сжимаемости среды
Как видно из соотношения
(7.2.15), давление в критической точке
больше, чем давление жидкости вдали от
тела, на величину скоростного напора
.
Таким образом, индивидуальная частица
газа или жидкости при движении по
критической линии тока испытывает
сжатие. При этом её плотность увеличивается.
Это явление изменения плотности будет
наблюдаться и для частиц, движущихся
по другим линиям тока. Однако наиболее
значительное изменение, очевидно, будет
наблюдаться для частиц на критической
линии тока. Поэтому, если учесть
сжимаемость среды, то давление в
критической точке должно иметь некоторое
другое значение, учитывающее, что
плотность среды вдали от тела и в
критической точке не равны , как это
предполагалось при выводе формулы
(7.2.15).
Оценим влияние сжимаемости среды на давление в критической точке. Если среда несжимаема, то давление в критической точке определяется согласно (7.2.15). Для сжимаемой среды необходимо воспользоваться уравнением Бернулли в форме (7.2.2) в отсутствии поля тяжести и, учитывая изменение энтальпии единицы массы, запишем его для критической линии тока в виде
(7.3.1)
Будем полагать, что сжатие индивидуальных частиц, движущихся по критической линии тока с достаточно большой скоростью, происходит адиабатически, т.е. без теплообмена с другими частицами. В этом случае, как было показано в п.7.1.1, имеем
Так как адиабатическое сжатие индивидуальной частицы на критической линии тока описывается уравнением Пуассона (или уравнением адиабаты), то очевидны следующие преобразования при вычислении энтальпии h единицы массы:
(7.3.2)
Здесь
показатель адиабаты. Интегрируя с
точностью до несущественной произвольной
постоянной интегрирования, получим:
(7.3.3)
Подставляя
значение
(7.3.3) в уравнение Бернулли (7.3.1), имеем
(7.3.4)
Отношение
плотностей
возможно найти из уравнения Пуассона,
подстановка которого в (7.3.4) позволяет
определить
:
(7.3.5)
Полагая, что второе слагаемое мало по сравнению с единицей, представим (7.3.5) как бином Ньютона:
.
Следовательно,
давление
сжимаемой среды в точке полного
торможения равно:
(7.3.6)
Сравнивая полученное выражение с формулой (7.2.13), можно сделать следующее заключение: если справедливо соотношение
(7.3.7)
то формула (7.3.6) переходит в формулу (7.2.15) для несжимаемой среды. Таким образом, при выполнении неравенства (7.3.7) необходимо среду (жидкость, газ) рассматривать несжимаемой.
Как показано в п.6.12,
скорость
адиабатического распространения
продольных волн сжатия в ньютоновских
средах равна
.
Но согласно (5.2.7) адиабатический модуль
,
поэтому имеем:
(7.3.8)
Для
идеальной среды в адиабатическом
процессе производную
можно найти из уравнения адиабаты
,
после подстановки которой в (7.3.8) получим:
(7.3.9)
Скорость называют скоростью звука, т.е. скорость звука является скоростью распространения продольных волн сжатия в среде. Тогда неравенство (7.3.7) можно записать в следующем виде
(7.3.10)
Таким образом, если
скорость движения среды значительно
меньше скорости звука в ней, то ее можно
рассматривать как среду несжимаемую.
Например, если воздух (
м/сек) движется со скоростью
=
70 м/сек, то максимальная поправка к
давлению в критической точке составит
%,
что можно не учитывать в большинстве
инженерных расчётов и теоретических
рассмотрений.